Direkt zum Inhalt | Direkt zur Navigation

Fachbereich Mathematik

Sektionen

Benutzerspezifische Werkzeuge

Blatt 05 Tex

TeX document icon SS2016_Blatt05.tex — TeX document, 3 kB (3976 bytes)

Dateiinhalt

\documentclass[12pt]{article}
%
\textheight 24cm
\hoffset-2cm
\voffset-2cm
%
\usepackage[ngerman]{babel}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin9]{inputenc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
% 
\textwidth17cm
%
\pagestyle{empty}
%
\parskip2ex
\parindent0pt

%
\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\ve}{\varepsilon}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
\DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh}
\DeclareMathOperator{\arcosh}{arcosh}
\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
\DeclareMathOperator{\spur}{spur}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\Log}{Log}

\usepackage{graphicx}

\newcommand*{\LargerCdot}{\raisebox{-0.25ex}{\scalebox{1.2}{$\cdot$}}}

%
%\input{defa}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{13.05.2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 5}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bfseries Aufgabe 1:} Sei $n\in\N$, $f:[a,b]\rightarrow\R^n:x\mapsto (f_1(x),\ldots,f_n(x))$ eine stetige Abbildung, $\|\cdot\|:\R^n\rightarrow\R^+_0$ eine Norm auf $\R^n$ und definiere
\begin{align*}
\int_a^bf(x)\,dx:=\left(\int_a^bf_1(x)\,dx,\ldots,\int_a^bf_n(x)\,dx\right).
\end{align*} 
Zeigen Sie, dass $\|f\|:[a,b]\rightarrow \R^+_0:x\mapsto \|f(x)\|$ Riemann-integrierbar ist und dass
\begin{align*}
\left\|\int_a^b f(x)\,dx\right\|\leq\int_a^b\|f(x)\|\,dx
\end{align*}
gilt. (\textit{Hinweis:} Verwenden Sie Riemannsche Summen.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Sei $D\subseteq \C$ offen, $\Delta\subseteq D$ ein abgeschlossenes Dreieck und $f:D\rightarrow\C$ holomorph. Zeigen Sie $\int_{\partial \Delta}f(z)\,dz=0$. (\textit{Hinweis:} Gehen Sie wie im Beweis von Lemma 3.2 des Skripts vor, indem Sie die Seiten des Dreiecks halbieren.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 3:} Eine Menge $S\subseteq \C$ hei\ss t \textit{sternf"ormig}, wenn es einen Punkt $a\in S$ gibt, so dass f"ur alle $z\in S$ die geradlinige Verbindung zwischen $a$ und $z$ ganz in $S$ liegt. Sei nun $S\subseteq \C$ ein sternf"ormiges Gebiet und $f:S\rightarrow\C$ holomorph. Zeigen Sie f"ur jeden geschlossenen Weg $\gamma$ in $S$, dass $\int_\gamma f(z)\,dz=0$ gilt. (\textit{Hinweis:} Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 2, dass $f$ eine Stammfunktion besitzt.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $D:=\C\setminus\R^-_0=\{z\in\C:\im(z)\neq 0\text{ oder }\re(z)>0\}$ und f"ur jedes $z\in D$ sei $[1,z]$ der geradlinige Weg von $1$ nach $z$. Man definiert den \textit{Hauptzweig des Logarithmus} $\Log$ durch
\begin{align*}
\Log:D\rightarrow \C:z\mapsto \int_{[1,z]}\frac{d\zeta}{\zeta}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass $\Log$ holomorph ist (\textit{Hinweis:} Aufgabe 3).
\item[(b)] Sei $z\in D$ und $\varphi\in(-\pi,\pi)$ mit $z=|z|e^{i\varphi}$. Zeigen Sie $\Log(z)=\ln|z|+i\varphi$. (\textit{Hinweis:} Betrachten Sie den Kreisweg $\gamma$ von $|z|$ nach $z$ in $D$ und verwenden Sie Aufgabe 3).
\item[(c)] Geben Sie $z_1,z_2\in D$ mit $\Log(z_1z_2)\neq \Log(z_1)+\Log(z_2)$ an.
\item[(d)] Sei $E\subseteq \C$ ein Gebiet mit $D\subsetneq E$. Zeigen Sie, dass es keinen Zweig des Logarithmus $f$ auf $E$ mit $f|_D=\Log$ gibt.
\end{enumerate}
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 4:} Am Freitag, dem 27. Mai 2016, in der Vorlesung.
%
\end{document}
Analysis IV

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

 

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie


Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Donnerstag 8-10 Uhr, S9
Jonathan Walz
Gruppe 2
Donnerstag 12-14 Uhr, S9
Raoul Schlotterbeck
Gruppe 3
Donnerstag 14-16 Uhr, S11
Tim Binz
Gruppe 4
Donnerstag 14-16 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 5
Donnerstag 16-18 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 6
Freitag 8-10 Uhr, S9
Felix Rexze
Gruppe 7
Freitag 14-16 Uhr, S9
Tim Binz
Gruppe 8
Freitag 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert