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Fachbereich Mathematik

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Blatt 06 Tex

TeX document icon SS2016_Blatt06.tex — TeX document, 4 kB (4695 bytes)

Dateiinhalt

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{27.05.2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 6}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%
{\bfseries Aufgabe 1:} Sei $D\subseteq \C$ ein Gebiet und $z,w\in D$. Zeigen Sie, dass ein st"uckweise glatter Weg von $z$ nach $w$ in $D$ existiert.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Definiere die trigonometrischen Funktionen $\cos$ und $\sin$ auf $\C$ durch
\begin{align*}
\cos:\C&\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right),\\
\sin:\C&\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right).
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie f"ur alle $z\in \C$ die Gleichung $\cos^2(z)+\sin^2(z)=1$.
\item[(b)] Sei $M:=\{z\in\C:\text{es existiert ein $k\in \Z$ mit $z=\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi$\}}$. Zeigen Sie 
\begin{align*}
M=\{z\in \C:\cos(z)=0\}
\end{align*}
und bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen von $\sin$.
\item[(b)] Definiere $D:=\C\setminus M$ und $\tan:D\rightarrow\C:z\mapsto \frac{\sin(z)}{\cos(z)}$. Zeigen Sie f"ur alle $z\in D$, dass $\tan(z)=\frac{1}{i}\cdot\frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}$ gilt.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 3:} 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $f:\C\rightarrow\C:z\mapsto e^{2iz}$ und $g:\C\setminus\{-1\}\rightarrow\C:z\mapsto \frac{1}{i}\cdot \frac{z-1}{z+1}$. Zeigen Sie, dass $f$ die Menge $D_0:=\{z\in\C:-\frac{\pi}{2}<\re(z)<\frac{\pi}{2}\}$ biholomorph auf $D_1:=\C\setminus\R^-_0$ und $g$ die Menge $D_1$ auf $D_2:=\C\setminus\{z\in\C:\text{es existiert ein }t\in\R\text{ mit }|t|\geq 1\text{ und }z=it\}$ abbildet.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $\tan|_{D_0}:D_0\rightarrow D_2$ biholomorph ist und die Umkehrabbildung (der sogenannte \textit{Hauptzweig des Arcus-Tangens}) durch
\begin{align*}
\Arctan:D_2\rightarrow D_0:w\mapsto\frac{1}{2i}\Log\left(\frac{1+iw}{1-iw}\right)
\end{align*}
gegeben ist. Dabei ist $\Log:D_1\rightarrow\C$ der Hauptzweig des Logarithmus.
\item[(c)] Sei $w\in D_2$ und $[0,w]$ der geradlinige Weg von $0$ nach $w$. Zeigen Sie
\begin{align*}
\Arctan(w)=\int_{[0,w]}\frac{d\zeta}{1+\zeta^2}.
\end{align*}
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $D\subseteq \C^\ast$ ein Gebiet und $\log:D\rightarrow\C$ ein Zweig des Logarithmus auf $D$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass eine stetige Funktion $g:D\rightarrow\C$ genau dann $\exp(g(z))=z$ f"ur alle $z\in D$ erf"ullt, wenn ein $k\in\Z$  mit $g(z)=\log(z)+2\pi i k$ f"ur alle $z\in D$ existiert. (\textit{Hinweis:} Zeigen Sie dass stetige Funktionen von $D$ nach $\Z$ konstant sind.)
\item[(b)] Sei $a\in\C$. Man definiert den zu $\log$ geh"orenden \textit{Zweig der $a$-ten Potenz} durch $\text{pot}_a:D\rightarrow\C:z\mapsto \exp(a\log(z))=:z^a$.
\begin{enumerate}
\item[(i)] Berechnen Sie alle m"oglichen Werte von $i^i$, $2^{-i}$ und $(-1)^{\sqrt{i}}$.
\item[(ii)] Sei $n\in\N$ und $g:D\rightarrow\C$ eine stetige Funktion mit $g(z)^n=z$ f"ur alle $z\in D$. Zeigen Sie, dass eine eine $n$-te Einheitswurzel $\omega$ existiert, so dass $g(z)=\omega\exp\left(\frac{1}{n}\log(z)\right)$ f"ur alle $z\in D$ gilt.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 4:} Am Freitag, dem 3. Juni 2016, in der Vorlesung.
%
\end{document}
Analysis IV

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

 

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie


Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Donnerstag 8-10 Uhr, S9
Jonathan Walz
Gruppe 2
Donnerstag 12-14 Uhr, S9
Raoul Schlotterbeck
Gruppe 3
Donnerstag 14-16 Uhr, S11
Tim Binz
Gruppe 4
Donnerstag 14-16 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 5
Donnerstag 16-18 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 6
Freitag 8-10 Uhr, S9
Felix Rexze
Gruppe 7
Freitag 14-16 Uhr, S9
Tim Binz
Gruppe 8
Freitag 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert