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Fachbereich Mathematik

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Blatt 07 Tex

TeX document icon SS2016_Blatt07.tex — TeX document, 3 kB (3593 bytes)

Dateiinhalt

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{03.06.2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 7}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%
{\bfseries Aufgabe 1:} Sei $D\subseteq\C$ ein sternf"ormiges Gebiet und $u:D\rightarrow\R$ eine harmonische Funktion. Zeigen Sie, dass eine holomorphe Funktion $f:D\rightarrow\C$ mit $\re(f)=u$ existiert.\\
(\textit{Hinweis:} Zeigen Sie, dass $g:D\rightarrow\C:z\mapsto \frac{\partial u}{\partial x}(z)-i\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(z)$ eine Stammfunktion besitzt.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Berechnen Sie mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel die Integrale
\begin{align*}
\int_{\partial B_3(-2i)}\frac{e^z}{z^2+\pi^2}\,dz\quad\text{und}\quad\int_{\partial B_1(-1)}\frac{1}{(z^2-1)\cdot (z-1)^2}\,dz.
\end{align*}
{\bfseries Aufgabe 3:} Sei $D\subseteq\C$ ein sternf"ormiges Gebiet und $f:D\rightarrow\C^\ast$ holomorph. Zeigen Sie, dass ein Logarithmus von $f$ auf $D$ existiert, d.h. eine eine holomorphe Funktion $g:D\rightarrow\C$ mit $\exp\circ g=f$. (\textit{Hinweis:} W"ahle ein Sternpunkt $z_0$ von $D$, ein $c\in\C$ mit $\exp(c)=f(z_0)$ und definiere dann f"ur jedes $z\in D$ jeweils
\begin{align*}
g(z):=\int_{[z_0,z]}\frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}\,d\zeta+c.)
\end{align*}
{\bfseries Aufgabe 4:} 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $f:\C\rightarrow\C:z\mapsto \exp(iz^2)$ und definiere f"ur jedes $R>0$ den Weg 
\begin{align*}
\gamma_R:[0,1]\rightarrow \C:t\mapsto R\cdot\exp\left(it\frac{\pi}{4}\right).
\end{align*}
Zeigen Sie
\begin{align*}
\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{\gamma_R}f(z)\,dz=0.
\end{align*}
\item[(b)] Berechnen Sie $\int_0^\infty\sin(x^2)\,dx$ und $\int_0^\infty\cos(x^2)\,dx$.\\[1em]
(\textit{Hinweis:} Integrieren Sie f"ur jedes $R>0$ die Funktion $f$ "uber den Rand von 
\begin{align*}
\left\{r\cdot\exp(i\varphi):0\leq r\leq R\text{ und }0\leq \varphi\leq \frac{\pi}{4}\right\}
\end{align*}
und verwenden Sie $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$.)
\end{enumerate}
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 1:} Am Freitag, dem 10. Juni 2016, in der Vorlesung.
%
\end{document}
Analysis IV

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

 

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie


Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

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Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Donnerstag 8-10 Uhr, S9
Jonathan Walz
Gruppe 2
Donnerstag 12-14 Uhr, S9
Raoul Schlotterbeck
Gruppe 3
Donnerstag 14-16 Uhr, S11
Tim Binz
Gruppe 4
Donnerstag 14-16 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 5
Donnerstag 16-18 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 6
Freitag 8-10 Uhr, S9
Felix Rexze
Gruppe 7
Freitag 14-16 Uhr, S9
Tim Binz
Gruppe 8
Freitag 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert