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Fachbereich Mathematik

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Blatt 12 Tex

TeX document icon SS2016_Blatt12.tex — TeX document, 3 kB (3485 bytes)

Dateiinhalt

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{08.07.2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 12}}
}}
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%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bfseries Aufgabe 1:} Seien $f,g:\C\rightarrow\C$ holomorphe Funktionen und gelte $|f(z)|\leq |g(z)|$ f"ur alle $z\in\C$. Zeigen Sie, dass ein $\lambda\in\C$ mit $f=\lambda g$ existiert.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Zeigen Sie, dass es keine holomorphe Funktion $f:\C\rightarrow\C$ mit
\begin{enumerate}
\item[(a)] $f(\frac{1}{n})=2^{-n}$,
\item[(b)] $f(\frac{1}{n})=\frac{(-1)^n}{n}$
\end{enumerate}
f"ur alle $n\in\N$ gibt. (\textit{Hinweis:} Nullstellenordnung und Identit"atssatz.)\\[1em]
{\bfseries Definition:} Eine kompakte Menge $K\subseteq\C$ hei\ss t \textit{Kompaktum mit glattem Rand}, wenn f"ur jedes $p\in \partial K$ eine offene Umgebung $U$ von $p$ und eine Funktion $\psi\in C^1(U,\R)$ mit $\grad\,\psi(z)\neq 0$ f"ur alle $z\in U$ und
\begin{align*}
K\cap U=\{z\in U:\psi(z)\leq 0\}
\end{align*}
existiert.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 3:} Sei $K\subseteq \C$ ein Kompaktum mit glattem Rand, $R>0$ und $a\in K$ mit $\overline{B_R(a)}\subseteq \mathring K$. 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie $\partial (K\setminus B_R(a))=\partial K\cup \partial B_R(a)$.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $K\setminus B_R(a)$ ein Kompaktum mit glattem Rand ist.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $K\subseteq \C$ ein Kompaktum mit glattem Rand.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $U\subseteq \C$ offen und $\psi\in C^1(U,\R)$ mit $K\cap U=\{z\in U:\psi(z)\leq 0\}$ und $\grad\,\psi(z)\neq 0$ f"ur alle $z\in U$. Zeigen Sie 
\begin{align*}
\partial K\cap U=\{z\in U:\psi(z)=0\}.
\end{align*}
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $\partial B_1(0)\subseteq \C$ kein Kompaktum mit glattem Rand ist bzw. zeigen Sie allgemeiner, dass stets $\mathring{K}\neq \emptyset$ gilt.
\end{enumerate}

{\bfseries Abgabe von Aufgabe 2:} Am Freitag, dem 15. Juli 2016, in der Vorlesung.

%
\end{document}
Analysis IV

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

 

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie


Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Donnerstag 8-10 Uhr, S9
Jonathan Walz
Gruppe 2
Donnerstag 12-14 Uhr, S9
Raoul Schlotterbeck
Gruppe 3
Donnerstag 14-16 Uhr, S11
Tim Binz
Gruppe 4
Donnerstag 14-16 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 5
Donnerstag 16-18 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 6
Freitag 8-10 Uhr, S9
Felix Rexze
Gruppe 7
Freitag 14-16 Uhr, S9
Tim Binz
Gruppe 8
Freitag 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert