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# Blatt 12 Tex

SS2016_Blatt12.tex — TeX document, 3 kB (3485 bytes)

## Dateiinhalt

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%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
\vbox{%%
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}

\vspace{0.5cm}

\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
\vbox{%
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{08.07.2016}}
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 12}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bfseries Aufgabe 1:} Seien $f,g:\C\rightarrow\C$ holomorphe Funktionen und gelte $|f(z)|\leq |g(z)|$ f"ur alle $z\in\C$. Zeigen Sie, dass ein $\lambda\in\C$ mit $f=\lambda g$ existiert.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Zeigen Sie, dass es keine holomorphe Funktion $f:\C\rightarrow\C$ mit
\begin{enumerate}
\item[(a)] $f(\frac{1}{n})=2^{-n}$,
\item[(b)] $f(\frac{1}{n})=\frac{(-1)^n}{n}$
\end{enumerate}
f"ur alle $n\in\N$ gibt. (\textit{Hinweis:} Nullstellenordnung und Identit"atssatz.)\\[1em]
{\bfseries Definition:} Eine kompakte Menge $K\subseteq\C$ hei\ss t \textit{Kompaktum mit glattem Rand}, wenn f"ur jedes $p\in \partial K$ eine offene Umgebung $U$ von $p$ und eine Funktion $\psi\in C^1(U,\R)$ mit $\grad\,\psi(z)\neq 0$ f"ur alle $z\in U$ und
\begin{align*}
K\cap U=\{z\in U:\psi(z)\leq 0\}
\end{align*}
existiert.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 3:} Sei $K\subseteq \C$ ein Kompaktum mit glattem Rand, $R>0$ und $a\in K$ mit $\overline{B_R(a)}\subseteq \mathring K$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie $\partial (K\setminus B_R(a))=\partial K\cup \partial B_R(a)$.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $K\setminus B_R(a)$ ein Kompaktum mit glattem Rand ist.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $K\subseteq \C$ ein Kompaktum mit glattem Rand.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $U\subseteq \C$ offen und $\psi\in C^1(U,\R)$ mit $K\cap U=\{z\in U:\psi(z)\leq 0\}$ und $\grad\,\psi(z)\neq 0$ f"ur alle $z\in U$. Zeigen Sie
\begin{align*}
\partial K\cap U=\{z\in U:\psi(z)=0\}.
\end{align*}
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $\partial B_1(0)\subseteq \C$ kein Kompaktum mit glattem Rand ist bzw. zeigen Sie allgemeiner, dass stets $\mathring{K}\neq \emptyset$ gilt.
\end{enumerate}

{\bfseries Abgabe von Aufgabe 2:} Am Freitag, dem 15. Juli 2016, in der Vorlesung.

%
\end{document}

Analysis IV

## Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

## Stundenplan

Fr 10:15-12:00 N6


## Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie

## Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]

## Übungsgruppen

 Gruppe 1 Donnerstag 8-10 Uhr, S9 Jonathan Walz Gruppe 2 Donnerstag 12-14 Uhr, S9 Raoul Schlotterbeck Gruppe 3 Donnerstag 14-16 Uhr, S11 Tim Binz Gruppe 4 Donnerstag 14-16 Uhr, S9 Florian Kranhold Gruppe 5 Donnerstag 16-18 Uhr, S9 Florian Kranhold Gruppe 6 Freitag 8-10 Uhr, S9 Felix Rexze Gruppe 7 Freitag 14-16 Uhr, S9 Tim Binz Gruppe 8 Freitag 14-16 Uhr, S10 Pirmin Vollert