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# Blatt 13 Tex

SS2016_Blatt13.tex — TeX document, 3 kB (3937 bytes)

## Dateiinhalt

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
\vbox{%%
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}

\vspace{0.5cm}

\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
\vbox{%
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{15.07.2016}}
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 13}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bfseries Aufgabe 1:} Definiere f"ur $0\leq r<R\leq \infty$ und $p\in\C$ jeweils
\begin{align*}
A_{r,R}(p):=\{z\in\C:r<|z-p|<R\}.
\end{align*}
Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklungen um 0 von
\begin{enumerate}
\item[(a)] $f:\C\setminus\{-1,2\}\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{(z+1)(z-2)}$ auf $A_{0,1}(0)$, $A_{1,2}(0)$ und $A_{2,\infty}(0)$,
\item[(b)] $g:\C\setminus\{0\}\rightarrow\C:z\mapsto\cos\left(\frac{z+1}{z}\right)$ auf $A_{0,\infty}(0)$,
\item[(c)] $h:\C\setminus\{1\}\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{(1-z)^2}$ auf $A_{0,1}(0)$ und $A_{1,\infty}(0)$.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 2:} Sei $D\subseteq\C$ offen, $f,g:D\rightarrow\C$ holomorph und $p\in D$ die einzige Nullstelle von $g$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $k\in\N$. Zeigen Sie, dass genau dann $\text{ord}_pg=k$ gilt, wenn $g^{(l)}(p)=0$ f"ur alle $1\leq l<k$ und $g^{(k)}(p)\neq 0$ gilt.
\item[(b)] Sei $n:=\text{ord}_p g$,
\begin{align*}
k:=\begin{cases} 0&\text{falls }f(p)\neq 0,\\
\text{ord}_pf&\text{falls }f(p)=0,
\end{cases}
\end{align*}
$h:D\setminus\{p\}\rightarrow\C:z\mapsto \frac{f(z)}{g(z)}$ und $\sum_{n\in\Z} a_nX^n$ die  Laurent-Reihe von $h$ in $p$. Zeigen Sie $a_{k-n}\neq 0$ und $a_l=0$ f"ur alle $l<k-n$.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 3:} Bestimmen Sie jeweils f"ur die isolierten Singularit"aten folgender Funktionen welche Art von isolierter Singularit"at (Pol, hebbar, wesentlich) vorliegt:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $f:\C\setminus\{2\pi ik:k\in\Z\}\rightarrow\C:z\mapsto\frac{z}{e^z-1}$,
\item[(b)] $g:\C^\ast\setminus\left\{\frac{1}{k}:k\in\Z\setminus\{0\}\right\}\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{z}\right)}$,
\item[(c)] $h:\C^\ast\rightarrow\C:z\mapsto \exp\left(\frac{1}{z}\right)\cdot\exp\left(-\frac{1}{z^2}\right)$.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $f:\C\rightarrow\C$ biholomorph.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass die Funktion $g:\C^\ast\rightarrow\C:z\mapsto f(\frac{1}{z})$ im Punkt 0 keine wesentliche Singularit"at besitzt.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass ein $a\in\C^\ast$ und ein $b\in \C$ mit $f(z)=az+b$ f"ur alle $z\in \C$ existiert.
\end{enumerate}
{\bfseries Freiwillige Abgabe von Aufgabe 1 und 2:} Am Freitag, dem 22. Juli 2016, in der Vorlesung.

%
\end{document}

Analysis IV

## Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

## Stundenplan

Fr 10:15-12:00 N6


## Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie

## Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]

## Übungsgruppen

 Gruppe 1 Donnerstag 8-10 Uhr, S9 Jonathan Walz Gruppe 2 Donnerstag 12-14 Uhr, S9 Raoul Schlotterbeck Gruppe 3 Donnerstag 14-16 Uhr, S11 Tim Binz Gruppe 4 Donnerstag 14-16 Uhr, S9 Florian Kranhold Gruppe 5 Donnerstag 16-18 Uhr, S9 Florian Kranhold Gruppe 6 Freitag 8-10 Uhr, S9 Felix Rexze Gruppe 7 Freitag 14-16 Uhr, S9 Tim Binz Gruppe 8 Freitag 14-16 Uhr, S10 Pirmin Vollert