Direkt zum Inhalt | Direkt zur Navigation

Fachbereich Mathematik

Sektionen

Benutzerspezifische Werkzeuge

Blatt 13 Tex

TeX document icon SS2016_Blatt13.tex — TeX document, 3 kB (3937 bytes)

Dateiinhalt

\documentclass[12pt]{article}
%
\textheight 24cm
\hoffset-2cm
\voffset-2cm
%
\usepackage[ngerman]{babel}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin9]{inputenc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
% 
\textwidth17cm
%
\pagestyle{empty}
%
\parskip2ex
\parindent0pt

%
\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\ve}{\varepsilon}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
\DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh}
\DeclareMathOperator{\arcosh}{arcosh}
\DeclareMathOperator{\Arctan}{Arctan}
\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
\DeclareMathOperator{\spur}{spur}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\Log}{Log}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{stmaryrd}

\newcommand*{\LargerCdot}{\raisebox{-0.25ex}{\scalebox{1.2}{$\cdot$}}}

%
%\input{defa}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{15.07.2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 13}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bfseries Aufgabe 1:} Definiere f"ur $0\leq r<R\leq \infty$ und $p\in\C$ jeweils 
\begin{align*}
A_{r,R}(p):=\{z\in\C:r<|z-p|<R\}.
\end{align*}
Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklungen um 0 von
\begin{enumerate}
\item[(a)] $f:\C\setminus\{-1,2\}\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{(z+1)(z-2)}$ auf $A_{0,1}(0)$, $A_{1,2}(0)$ und $A_{2,\infty}(0)$,
\item[(b)] $g:\C\setminus\{0\}\rightarrow\C:z\mapsto\cos\left(\frac{z+1}{z}\right)$ auf $A_{0,\infty}(0)$,
\item[(c)] $h:\C\setminus\{1\}\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{(1-z)^2}$ auf $A_{0,1}(0)$ und $A_{1,\infty}(0)$.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 2:} Sei $D\subseteq\C$ offen, $f,g:D\rightarrow\C$ holomorph und $p\in D$ die einzige Nullstelle von $g$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $k\in\N$. Zeigen Sie, dass genau dann $\text{ord}_pg=k$ gilt, wenn $g^{(l)}(p)=0$ f"ur alle $1\leq l<k$ und $g^{(k)}(p)\neq 0$ gilt.
\item[(b)] Sei $n:=\text{ord}_p g$, 
\begin{align*}
k:=\begin{cases} 0&\text{falls }f(p)\neq 0,\\
\text{ord}_pf&\text{falls }f(p)=0,
\end{cases}
\end{align*}
$h:D\setminus\{p\}\rightarrow\C:z\mapsto \frac{f(z)}{g(z)}$ und $\sum_{n\in\Z} a_nX^n$ die  Laurent-Reihe von $h$ in $p$. Zeigen Sie $a_{k-n}\neq 0$ und $a_l=0$ f"ur alle $l<k-n$.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 3:} Bestimmen Sie jeweils f"ur die isolierten Singularit"aten folgender Funktionen welche Art von isolierter Singularit"at (Pol, hebbar, wesentlich) vorliegt:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $f:\C\setminus\{2\pi ik:k\in\Z\}\rightarrow\C:z\mapsto\frac{z}{e^z-1}$,
\item[(b)] $g:\C^\ast\setminus\left\{\frac{1}{k}:k\in\Z\setminus\{0\}\right\}\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{z}\right)}$,
\item[(c)] $h:\C^\ast\rightarrow\C:z\mapsto \exp\left(\frac{1}{z}\right)\cdot\exp\left(-\frac{1}{z^2}\right)$.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $f:\C\rightarrow\C$ biholomorph.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass die Funktion $g:\C^\ast\rightarrow\C:z\mapsto f(\frac{1}{z})$ im Punkt 0 keine wesentliche Singularit"at besitzt.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass ein $a\in\C^\ast$ und ein $b\in \C$ mit $f(z)=az+b$ f"ur alle $z\in \C$ existiert.
\end{enumerate}
{\bfseries Freiwillige Abgabe von Aufgabe 1 und 2:} Am Freitag, dem 22. Juli 2016, in der Vorlesung.

%
\end{document}
Analysis IV

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

 

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie


Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Donnerstag 8-10 Uhr, S9
Jonathan Walz
Gruppe 2
Donnerstag 12-14 Uhr, S9
Raoul Schlotterbeck
Gruppe 3
Donnerstag 14-16 Uhr, S11
Tim Binz
Gruppe 4
Donnerstag 14-16 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 5
Donnerstag 16-18 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 6
Freitag 8-10 Uhr, S9
Felix Rexze
Gruppe 7
Freitag 14-16 Uhr, S9
Tim Binz
Gruppe 8
Freitag 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert