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# Blatt 8 Tex

SS2016_Blatt08.tex — TeX document, 3 kB (3425 bytes)

## Dateiinhalt

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%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
\vbox{%%
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}

\vspace{0.5cm}

\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
\vbox{%
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{10.06.2016}}
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 8}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%
{\bfseries Aufgabe 1:} Sei $f:\C\rightarrow\C$ eine nicht-konstante holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass $f(\C)$ dicht in $\C$ liegt. (\textit{Hinweis:} Verwenden Sie den Satz von Liouville.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Sei $f:\C\rightarrow\C$ eine holomorphe Funktion und es existiere ein $n\in\N_0$ und $M,R>0$, so dass
\begin{align*}
|f(z)|\leq M\cdot |z|^n
\end{align*}
f"ur alle $z\in \C$ mit $|z|>R$ gilt. Zeigen Sie, dass $f$ eine Polynomfunktion vom Grade kleiner oder gleich $n$ ist. (\textit{Hinweis:} Verwenden Sie die Cauchy-Absch"atzungen.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 3:} Sei $U\subseteq\C$ offen, $[a,b]\subseteq \R$ ein abgeschlossenes Intervall und
\begin{align*}
F:[a,b]\times U\rightarrow \C:(t,z)\mapsto F(t,z)
\end{align*}
sei stetig. Zudem sei $F_t:U\rightarrow\C:z\mapsto F(t,z)$ f"ur alle $t\in[a,b]$ reell differenzierbar und die Abbildung $H:[a,b]\times U\rightarrow\text{Mat}_{2}(\R):(t,z)\mapsto DF_t(z)$ sei stetig. Zeigen Sie, dass
\begin{align*}
G:U\rightarrow\C:z\mapsto \int_a^b F(t,z)\,dt
\end{align*}
reell differenzierbar ist und dass dabei
\begin{align*}
DG(z)=\int_a^b DF_t(z)\,dt
\end{align*}
f"ur alle $z\in U$ gilt.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $f:\partial B_1(0)\rightarrow\C$ stetig und definiere
\begin{align*}
g:B_1(0)\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_1(0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta.
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass $g$ holomorph ist.
\item[(b)] Sei $g$ auf $\overline {B_1(0)}$ stetig fortsetzbar. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die stetige Fortsetzung von $g$ auf $\partial B_1(0)$ im Allgemeinen mit $f$ "ubereinstimmt.
\end{enumerate}
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 4:} Am Freitag, dem 17. Juni 2016, in der Vorlesung.
%
\end{document}

Analysis IV

## Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

## Stundenplan

Fr 10:15-12:00 N6


## Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie

## Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]

## Übungsgruppen

 Gruppe 1 Donnerstag 8-10 Uhr, S9 Jonathan Walz Gruppe 2 Donnerstag 12-14 Uhr, S9 Raoul Schlotterbeck Gruppe 3 Donnerstag 14-16 Uhr, S11 Tim Binz Gruppe 4 Donnerstag 14-16 Uhr, S9 Florian Kranhold Gruppe 5 Donnerstag 16-18 Uhr, S9 Florian Kranhold Gruppe 6 Freitag 8-10 Uhr, S9 Felix Rexze Gruppe 7 Freitag 14-16 Uhr, S9 Tim Binz Gruppe 8 Freitag 14-16 Uhr, S10 Pirmin Vollert