Direkt zum Inhalt | Direkt zur Navigation

Fachbereich Mathematik

Sektionen

Benutzerspezifische Werkzeuge

Blatt 8 Tex

TeX document icon SS2016_Blatt08.tex — TeX document, 3 kB (3425 bytes)

Dateiinhalt

\documentclass[12pt]{article}
%
\textheight 24cm
\hoffset-2cm
\voffset-2cm
%
\usepackage[ngerman]{babel}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin9]{inputenc}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
% 
\textwidth17cm
%
\pagestyle{empty}
%
\parskip2ex
\parindent0pt

%
\def\oacc#1{\ifmmode\mathaccent23{#1}\else\accent23{#1}\fi}
%
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\ve}{\varepsilon}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\grad}{\mathrm{grad}}
\DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh}
\DeclareMathOperator{\arcosh}{arcosh}
\DeclareMathOperator{\Arctan}{Arctan}
\DeclareMathOperator{\Mat}{Mat}
\DeclareMathOperator{\spur}{spur}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\Log}{Log}

\usepackage{graphicx}

\newcommand*{\LargerCdot}{\raisebox{-0.25ex}{\scalebox{1.2}{$\cdot$}}}

%
%\input{defa}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{10.06.2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 8}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%
{\bfseries Aufgabe 1:} Sei $f:\C\rightarrow\C$ eine nicht-konstante holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass $f(\C)$ dicht in $\C$ liegt. (\textit{Hinweis:} Verwenden Sie den Satz von Liouville.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Sei $f:\C\rightarrow\C$ eine holomorphe Funktion und es existiere ein $n\in\N_0$ und $M,R>0$, so dass
\begin{align*}
|f(z)|\leq M\cdot |z|^n
\end{align*}
f"ur alle $z\in \C$ mit $|z|>R$ gilt. Zeigen Sie, dass $f$ eine Polynomfunktion vom Grade kleiner oder gleich $n$ ist. (\textit{Hinweis:} Verwenden Sie die Cauchy-Absch"atzungen.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 3:} Sei $U\subseteq\C$ offen, $[a,b]\subseteq \R$ ein abgeschlossenes Intervall und
\begin{align*}
F:[a,b]\times U\rightarrow \C:(t,z)\mapsto F(t,z)
\end{align*}
sei stetig. Zudem sei $F_t:U\rightarrow\C:z\mapsto F(t,z)$ f"ur alle $t\in[a,b]$ reell differenzierbar und die Abbildung $H:[a,b]\times U\rightarrow\text{Mat}_{2}(\R):(t,z)\mapsto DF_t(z)$ sei stetig. Zeigen Sie, dass 
\begin{align*}
G:U\rightarrow\C:z\mapsto \int_a^b F(t,z)\,dt
\end{align*}
reell differenzierbar ist und dass dabei
\begin{align*}
DG(z)=\int_a^b DF_t(z)\,dt
\end{align*}
f"ur alle $z\in U$ gilt.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $f:\partial B_1(0)\rightarrow\C$ stetig und definiere
\begin{align*}
g:B_1(0)\rightarrow\C:z\mapsto\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_1(0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta.
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass $g$ holomorph ist.
\item[(b)] Sei $g$ auf $\overline {B_1(0)}$ stetig fortsetzbar. Zeigen oder widerlegen Sie, dass die stetige Fortsetzung von $g$ auf $\partial B_1(0)$ im Allgemeinen mit $f$ "ubereinstimmt.
\end{enumerate}
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 4:} Am Freitag, dem 17. Juni 2016, in der Vorlesung.
%
\end{document}
Analysis IV

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

 

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie


Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

Blatt 9 [pdf.tex]

Blatt 10 [pdf,tex]

Blatt 11 [pdf,tex]

Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Donnerstag 8-10 Uhr, S9
Jonathan Walz
Gruppe 2
Donnerstag 12-14 Uhr, S9
Raoul Schlotterbeck
Gruppe 3
Donnerstag 14-16 Uhr, S11
Tim Binz
Gruppe 4
Donnerstag 14-16 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 5
Donnerstag 16-18 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 6
Freitag 8-10 Uhr, S9
Felix Rexze
Gruppe 7
Freitag 14-16 Uhr, S9
Tim Binz
Gruppe 8
Freitag 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert