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Fachbereich Mathematik

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Blatt 9 Tex

TeX document icon SS2016_Blatt09.tex — TeX document, 3 kB (3856 bytes)

Dateiinhalt

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{SS 2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{17.06.2016}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 9}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis IV\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%
{\bfseries Aufgabe 1:} Sei $a\in\C$, $r>0$ und $f:\overline{B_r(a)}\rightarrow\C$ eine stetige Funktion, so dass $f|_{B_r(a)}$ holomorph ist. Zeigen Sie f"ur alle $z\in B_r(a)$ die Gleichung
\begin{align*}
2\pi i f(z)=\int_{\partial B_r(a)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z	}\,d\zeta.
\end{align*}
{\bfseries Aufgabe 2:} Sei $f=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot X^n\in\C\llbracket X\rrbracket$ und definiere die \textit{formale Ableitung von $f$} durch
\begin{align*}
f':=\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}\cdot (n+1)\cdot X^{n}.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass die Konvergenzradien von $f$ und $f'$ "ubereinstimmen, also $R_f=R_{f'}$.\\[1em]
{\bfseries Definition:} Sei $(R,+,\cdot)$ ein kommutativer Ring. Eine Untergruppe $I\subseteq R$ (bez"uglich der Addition) hei\ss t \textit{Ideal}, wenn $ra\in I$ f"ur alle $r\in R$ und alle $a\in I$ gilt. Ein Ideal $I\neq R$ hei\ss t \textit{maximal}, wenn f"ur jedes Ideal $J$ mit $I\subseteq J\subsetneq R$ stets $I=J$ gilt.\\[1em]
Definiert man auf $\C\llbracket X\rrbracket$ die Multiplikation 
\begin{align*}
\ast:\C\llbracket X\rrbracket\times\C\llbracket X\rrbracket\rightarrow \C\llbracket X\rrbracket:\left(\sum_{n=0}^\infty a_nX^n,\sum_{n=0}^\infty b_nX^n\right)\mapsto \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n a_{k}b_{n-k}\cdot X^n,
\end{align*}
so ist $(\C\llbracket X\rrbracket,+,\ast)$ ein kommutativer Ring.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 3:} 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Sei $f=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot X^n\in\C\llbracket X\rrbracket$. Zeigen Sie, dass $f$ genau dann eine Einheit in $\C\llbracket X\rrbracket$ ist, wenn $a_0\neq 0$ gilt. Geben Sie im Fall $a_0\neq 0$ eine Rekursionsformel f"ur die Koeffizienten von $f^{-1}$ an.
\item[(b)] Zeigen Sie, dass $\C\llbracket X\rrbracket$ genau ein maximales Ideal besitzt.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 4:} Seien $f,g\in\C\llbracket X\rrbracket$. Zeigen Sie 
\begin{align*}
R_{f+g}\geq \min\{R_f,R_g\}\quad\text{und}\quad R_{f\ast g}\geq\min\{R_f,R_g\}.
\end{align*}
Geben Sie zudem ein Beispiel von $0\neq f,g\in\C\llbracket X\rrbracket$ mit $R_{f\ast g}>\min\{R_f,R_g\}$ an.\\[1em]
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 4:} Am Freitag, dem 24. Juni 2016, in der Vorlesung.

%
\end{document}
Analysis IV

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

 

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker IV – Funktionentheorie


Übungen

Blatt 0 [pdf]

Blatt 1 [pdf]

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Blatt 5 [pdf,tex]

Blatt 6 [pdf,tex]

Blatt 7 [pdf,tex]

Blatt 8 [pdf,tex]

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Blatt 12 [pdf,tex]

Blatt 13 [pdf,tex]

Blatt 14 [pdf,tex]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Donnerstag 8-10 Uhr, S9
Jonathan Walz
Gruppe 2
Donnerstag 12-14 Uhr, S9
Raoul Schlotterbeck
Gruppe 3
Donnerstag 14-16 Uhr, S11
Tim Binz
Gruppe 4
Donnerstag 14-16 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 5
Donnerstag 16-18 Uhr, S9
Florian Kranhold
Gruppe 6
Freitag 8-10 Uhr, S9
Felix Rexze
Gruppe 7
Freitag 14-16 Uhr, S9
Tim Binz
Gruppe 8
Freitag 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert