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Fachbereich Mathematik

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Blatt 1 Tex

TeX document icon WS201516_Blatt01.tex — TeX document, 3 kB (3292 bytes)

Dateiinhalt

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2015/16}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{15.10.2015}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 1}}
}}
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%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis III\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bfseries Aufgabe 1:} Bestimmen Sie jeweils das maximale dynamische System $\varphi:\Omega\rightarrow \R$ auf $\R$, welches durch die Differentialgleichung $\dot x=x^2$ bzw. $\dot x= e^x$ definiert wird.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Seien $x_0,y_0\in\R$, $P,Q:\R^2\rightarrow\R$ stetig differenzierbare Funktionen mit $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ und definiere
\begin{align*}
F:\R^2\rightarrow\R:(x,y)\mapsto \int_{y_0}^y Q(x_0,s)\;\text{d}s+\int_{x_0}^x P(t,y)\;\text{d}t.
\end{align*}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie $\frac{\partial F}{\partial x}=P$ und $\frac{\partial F}{\partial y}=Q$. ({\it Hinweis:} Beweisen oder zitieren Sie einen Satz, der es erm"oglicht \glqq unter dem Integral\grqq\;zu differenzieren.)
\item[(b)] Zeigen Sie, dass eine differenzierbare Funktion $h:\R\rightarrow\R$ genau dann die Differentialgleichung 
\begin{align*}
P(t,y(t))+Q(t,y(t))\cdot\dot y(t)=0
\end{align*}
l"ost, wenn die Funktion $g:\R\rightarrow\R:t\mapsto F(t,h(t))$ konstant ist.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 3:} L"osen Sie mit Hilfe von Aufgabe 2 folgende Anfangswertprobleme:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $e^{-t}\arctan(y(t))-\frac{e^{-t}}{1+y(t)^2}\cdot\dot y(t)=0$ und $y(0)=1$,
\item[(b)] $e^ty(t)+(1+e^t)\cdot\dot y(t)=0$ und $y(0)=\frac{1}{2}$,
\item[(c)] $2t\sin(y(t))+t^2\cos(y(t))\cdot\dot y(t)=0$ und $y(1)=\pi/4$.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $n\in\N$, $I\subseteq \R$ ein offenes Intervall, $A:I\rightarrow \Mat_n(\R)$ und die differenzierbare Abbildung $\Phi:I\rightarrow\Mat_n(\R)$ erf"ulle $\dot\Phi=A\cdot\Phi$. Zeigen Sie, dass die Funktion $\Delta:I\rightarrow\R:t\mapsto \det(\Phi(t))$ die Differentialgleichung $\dot x=\spur(A)\cdot x$ l"ost.\\[1em]
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 3:} Am Donnerstag, dem 22. Oktober 2015, in der Vorlesung.
%
\end{document}
Analysis III

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker III

Mathematik für Physiker IV - Integrationstheorie


Übungen

Blatt 1 [pdf]

Blatt 2 [pdf]

Blatt 3 [pdf]

Blatt 4 [pdf]

Blatt 5 [pdf]

Blatt 6 [pdf]

Blatt 7 [pdf]

Blatt 8 [pdf]

Blatt 9 [pdf]

Blatt 10 [pdf]

Blatt 11 [pdf]

Blatt 12 [pdf]

Blatt 13 [pdf]

Blatt 14 [pdf]

Blatt 15 [pdf]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Dienstag 8-10 Uhr, S8
Pirmin Vollert
Gruppe 2
Dienstag 16-18 Uhr, S7
Florian Kranhold
Gruppe 3
Mittwoch 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert
Gruppe 4
Mittwoch 16-18 Uhr, S8
Florian Kranhold
Gruppe 5
Dienstag 8-10 Uhr, D7H33
Jonathan Walz