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Fachbereich Mathematik

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Blatt 2 Tex

TeX document icon WS201516_Blatt02.tex — TeX document, 3 kB (3776 bytes)

Dateiinhalt

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%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
 \vbox{%%
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}
    
    \vspace{0.5cm}
    
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
    \hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
 \vbox{%
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2015/16}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{22.10.2015}}
 \hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 2}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu 
\glqq Analysis III\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bfseries Aufgabe 1:} Sei $I\subseteq \R$ ein offenes Intervall, $n\in\N$ und $a_1,\ldots,a_n:I\rightarrow \R$ seien stetig differenzierbar. Betrachte die lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordnung
\begin{align}\label{test}
x^{(n)}(t)+a_1(t)x^{(n-1)}(t)+\ldots+a_n(t)x(t)=0\tag{$\ast$}
\end{align}
auf $\R$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Zeigen Sie, dass der L"osungsraum $L_{(h)}:=\{x\in\mathcal C^n(I,\R):x\text{ l"ost }(\ast)\}$ ein $n$-dimensionaler Unterraum von $\mathcal C^n(I,\R)$ ist.
\item[(b)] Seien $x_1,\ldots,x_n\in L_{(h)}$. Zeigen Sie, dass $(x_1,\ldots,x_n)$ genau dann eine Basis von $L_{(h)}$ ist, wenn die sogenannte {\em Wronski-Determinante}
\begin{align*}
W(t):=\det\begin{pmatrix}
x_1(t) & \ldots & x_n(t) \\
\dot x_1(t) & \ldots & \dot x_n(t) \\
\vdots & & \vdots \\
x_1^{(n-1)}(t) & \ldots & x_n^{(n-1)}(t) 
\end{pmatrix}
\end{align*} 
f"ur ein $t\in I$ von Null verschieden ist.
\end{enumerate}
{\bfseries Aufgabe 2:} Seien $\omega,\gamma>0$ mit $\omega\neq\gamma$. Geben Sie alle L"osungen der Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung
\begin{align*}
\ddot x(t)+\omega^2 x(t)=\cos(\gamma t)
\end{align*}
an.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 3:} Sei $X$ eine Menge und f"ur jede Teilmenge $\mathcal M\subseteq\mathcal P(X)$ der Potenzmenge von $X$ sei $\mathcal F(\mathcal M)$ die kleinste $\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal M$ enth"alt. Sei nun $\mathcal E\subseteq\mathcal P(X)$ und
\begin{align*}
\mathcal B:=\bigcup_{\substack{\mathcal E'\subseteq\mathcal E\\\mathcal E'\text{ ist endlich}\\\text{oder abz"ahlbar}}}\mathcal F(\mathcal E').
\end{align*}
Zeigen Sie $\mathcal B=\mathcal F(\mathcal E)$. (\textit{Hinweis:} Zeigen Sie, dass $\mathcal B$ eine $\sigma$-Algebra ist.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $\mathcal A$ eine $\sigma$-Algebra auf einer Menge $X$, $\mu$ sei ein Ma\ss\;auf $\mathcal A$ und f"ur jedes $k\in\N$ sei $A_k\in\mathcal A$. Zudem gelte $A_{k+1}\subseteq A_{k}$ f"ur alle $k\in \N$ und $\mu(A_1)<\infty$. Beweisen Sie f"ur $A:=\bigcap_{k=1}^\infty A_k$ die {\em Schrumpfungsformel}
\begin{align*}
\mu(A)=\lim_{k\rightarrow\infty}\mu(A_k)
\end{align*}
und zeigen Sie, dass die Formel im Allgemeinen falsch ist, falls $\mu(A_1)=\infty$ ist.\\[1em]
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 3:} Am Donnerstag, dem 29. Oktober 2015, in der Vorlesung.
%
\end{document}
Analysis III

Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

Stundenplan


Skripte

Mathematik für Physiker III

Mathematik für Physiker IV - Integrationstheorie


Übungen

Blatt 1 [pdf]

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Blatt 13 [pdf]

Blatt 14 [pdf]

Blatt 15 [pdf]

Klausur [pdf]


Übungsgruppen

Gruppe 1
Dienstag 8-10 Uhr, S8
Pirmin Vollert
Gruppe 2
Dienstag 16-18 Uhr, S7
Florian Kranhold
Gruppe 3
Mittwoch 14-16 Uhr, S10
Pirmin Vollert
Gruppe 4
Mittwoch 16-18 Uhr, S8
Florian Kranhold
Gruppe 5
Dienstag 8-10 Uhr, D7H33
Jonathan Walz