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# Blatt 3 Tex

WS201516_Blatt03.tex — TeX document, 3 kB (3641 bytes)

## Dateiinhalt

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Kopf des Blattes  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hbox{%
\vbox{%%
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Mathematisches Institut}}
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{der Universit\"at T\"ubingen}}

\vspace{0.5cm}

\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Prof. Dr. Frank Loose,}}
\hbox{\makebox[5.1cm][l]{Pirmin Vollert}}
}%
\hspace{10.9cm}%
\vbox{%
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{WS 2015/16}}
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{29.10.2015}}
\hbox{\makebox[1.0cm][r]{Blatt 3}}
}}
\vspace{0.1cm}
%\begin{document}
\small\normalsize
\begin{center}{\Large\bfseries \"Ubungen zu
\glqq Analysis III\grqq}
\end{center}
\vspace{0.1cm}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Kopfes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%

%

{\bfseries Aufgabe 1:} Sei $(X,\mathcal A,\mu)$ ein Ma\ss raum, f"ur jedes $n\in\N$ sei $A_n\in\mathcal A$ und es gelte
\begin{align*}
\sum_{n\in\N}\mu(A_n)<\infty.
\end{align*}
Zeigen Sie f"ur
\begin{align*}
\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n:=\{x\in X:\text{es existieren unendlich viele $n\in\N$ mit }x\in A_n\},
\end{align*}
dass $\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n\in\mathcal A$ und $\mu\left(\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n\right)=0$
gilt.\\[1em]
(\textit{Hinweis:} Betrachten Sie $\bigcap_{n\in\N}\bigcup_{k=n}^\infty A_k$.)\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 2:} Sei $(M,\mathcal A,\mu)$ ein Ma\ss raum, $n\in\N$, $M_n:=\{1,\ldots,n\}$, f"ur jedes $k\in M_n$ sei $A_k\in\mathcal A$ mit $\mu(A_k)<\infty$ und f"ur jede Teilmenge $I\subseteq M_n$ sei $|I|$ die Anzahl der Elemente von $I$. Zeigen Sie
\begin{align*}
\mu\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)=\sum_{\emptyset\neq I\subseteq M_n}(-1)^{|I|+1}\cdot\mu\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right).
\end{align*}
{\bfseries Aufgabe 3:} Sei $X$ eine Menge, $\mathcal R\subseteq\mathcal P(X)$ ein Ring auf $X$ und definiere die Verkn"upfungen
\begin{align*}
+:\mathcal R\times\mathcal R&\rightarrow\mathcal R:(A,B)\mapsto A\Delta B:= (A\setminus B)\cup(B\setminus A)
\intertext{und}
\cdot:\mathcal R\times \mathcal R&\rightarrow\mathcal R:(A,B)\mapsto A\cap B.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass die Vernk"upfungen $+$ und $\cdot$ wohldefiniert sind und dass $(\mathcal R,+,\cdot)$ ein Ring (im algebraischen Sinne) ist.\\[1em]
{\bfseries Aufgabe 4:} Sei $X$ eine Menge.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Bestimmen Sie f"ur eine Partition $(A_n)_{n\in\N}$ von $X$ die von $\mathcal E:=\{A_n:n\in\N\}\subseteq\mathcal P(X)$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\mathcal F(\mathcal E)$.
\item[(b)] Seien $A,B\subseteq X$ und $\mathcal E:=\{A,B\}$. Zeigen Sie, dass das von $\mathcal E$ erzeugte Dynkin-System genau dann mit der von $\mathcal E$ erzeugten $\sigma$-Algebra "ubereinstimmt, wenn eine der Mengen $A\cap B$, $A\cap B^c$, $A^c\cap B$, $A^c\cap B^c$ leer ist.
\item[(c)] Geben Sie ein Dynkin-System an, welches keine $\sigma$-Algebra ist.
\end{enumerate}
{\bfseries Abgabe von Aufgabe 4:} Am Donnerstag, dem 5. November 2015, in der Vorlesung.
%
\end{document}

Analysis III

## Dozent

Prof. Dr. Frank Loose

## Stundenplan

Di 10:15-12:00 N9Do 10:15-12:00 N9

## Skripte

Mathematik für Physiker III

Mathematik für Physiker IV - Integrationstheorie

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Klausur [pdf]

## Übungsgruppen

 Gruppe 1 Dienstag 8-10 Uhr, S8 Pirmin Vollert Gruppe 2 Dienstag 16-18 Uhr, S7 Florian Kranhold Gruppe 3 Mittwoch 14-16 Uhr, S10 Pirmin Vollert Gruppe 4 Mittwoch 16-18 Uhr, S8 Florian Kranhold Gruppe 5 Dienstag 8-10 Uhr, D7H33 Jonathan Walz