Me and a blackboard

Johannes Rau

Juniorprofessor
Arbeitsbereich Geometrie
Fachbereich Mathematik

Universität Tübingen
A tropical surface

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Ich bin Juniorprofessor für Mathematik an der Universität Tübingen. Mein Forschungsgebiet ist die tropische Geometrie in Verbindung zu enumerativer Geometrie, reeller algebraischer Geometrie und Schnitttheorie. Allgemein liegt mein mathematischer Schwerpunkt in der algebraischen Geometrie, der symplektischen Geometrie und der Kombinatorik. Mehr Details gibt es in den folgenden Abschnitten oder per Email.

Email: johannes.rau (at) math.uni-tuebingen.de

Arbeitsbereich in Tübingen

A real amoeba

Aktuell

Patchworking Online

Konstruiere deine eigene reelle algebraische Kurve mit dieser einfachen Browseranwendung ;)

Buch

Ich schreibe ein Buch über tropische Geometrie zusammen mit Grigory Mikhalkin. Der folgende Link führt zur aktuellen Entwurfsfassung. Über Anregungen und Verbesserungen aller Art freue ich mich sehr.

Ältere Links

Forschung

Mein Forschungsgebiet ist die tropische Geometrie (der Ursprung des exotischen Namens ist recht langweilig – ursprünglich wurde das Adjektiv "tropisch" im Zusammenhang mit der Max-Plus-Algebra zu Ehren des brasilianischen (in Ungarn geborenen) Mathematikers Imre Simon verwendet). Auch wenn die Ursprünge des Gebietes weiter zurück liegen, entstand tropische Geometrie als neue Entwicklung in der algebraischen und symplektischen Geometrie um das Jahr 2000. Meine spezifischen Interessen möchte ich anhand einer kurzen Liste von Stichworten darstellen.

  1. (Reelle) enumerative Geometrie
    • Reelle Hurwitz-Zahlen
    • Abgeleitete Gromov-Witten-Invarianten, Psi-Klassen
  2. Topologie von reellen algebraischen Varietäten
    • Hilberts 16. Problem für nodale Kurven
    • Reelle algebraische Flächen
  3. Schnitttheorie und Hodge-Theorie
    • Tropische Schnittprodukte
    • Matroide
    • Tropische Hodge-Gruppen
    • Rationale Äquivalenz
    • McMullens Polytop-Algebra
  4. Buch
  5. Ich schreibe ein Buch über tropische Geometrie zusammen mit Grigory Mikhalkin. Der folgende Link führt zur aktuellen Entwurfsfassung. Über Anregungen und Verbesserungen aller Art freue ich mich sehr.
    Tropical geometry (Entwurf)

Dinosaurier und Skelette

Tropische Geometrie für Nicht-Mathematiker

Ich vergleiche tropische Mathematik gerne mit der Welt der Dinosaurier. Wenn Paläontologen mehr über diese Tiere erfahren möchten, können sie nicht einfach in den Zoo oder den Urwald spazieren, denn unglücklicherweise sind die armen Dinger schon vor langer Zeit ausgestorben. Stattdessen arbeiten sie eher wie Archäologen. Sie graben nach den versteinerten Knochen, versuchen die Skelette zu A tropical surface rekonstruieren und ziehen dann Rückschlüsse darüber wie diese Tiere aussahen, was sie aßen, wie sie jagten usw. In der tropischen Geometrie machen wir genau das Gleiche!

In unserer Welt werden die Dinosaurier "algebraische Varietäten" genannt. Dabei handelt es sich um komplizierte geometrische Formen beschrieben durch polynomiale Gleichungen. Solche algebraische Varietäten tauchen in der Mathematik, den Naturwissenschaften aber auch im echten Leben ständig auf, und daher bildet ihr Studium eines der ältesten und mächtigsten Gebiete der Mathematik (die sogenannte algebraische Geometrie). Algebraische Varietäten sind oft so komplizert dass es unmöglich ist, sie direkt in den Griff zu kriegen – genau wie bei den ausgestorbenen Dinosauriern. In manchen Fällen haben es Mathematiker allerdings geschafft, die Skelette dieser mathematischen Dinosaurier auszugraben. Konkret muss man die Dinosaurier zunächst in Amöben verwandeln und sie dann so lange verhungern lassen bis nur noch ihre Skelette übrig sind – an der dieser Stelle wird die Analogie zur Tierwelt etwas brutal ;).

Diese mathematischen Skelette nennen sich tropische Varietäten (auf der Webseite finden sich einige Abbildungen davon). In der tropischen Geometrie spielen wir also Paläontologe und versuchen, mehr über die ursprünglichen geometrischen Objekte anhand ihrer tropischen Skelette zu erfahren. Der Vorteil ist, dass tropische Varietäten viel einfacher sind als die ursprünglichen Objekte und daher mit viel elementareren Methoden untersucht werden können. Natürlich vollbringt der tropische Ansatz keine Wunder (es ist einfach, die Größe eines Dinosauriers anhand seines Skelettes abzuschätzen, aber hat er nun eine glatte oder behaarte Haut?), aber mittlerweile gibt es eine Reihe von bemerkenswerten Fakten über algebraische Varietäten, die aus dem Studium ihrer tropischen Skelette geschlußfolgert wurden. Und deshalb ist tropische Geometrie zur Zeit ein spannendes und rasant wachsendes Arbeitsgebiet.

Tropische Geometrie für Studenten/Mathematiker aus anderen Bereichen

Du bist Bachelor/Master Student für Mathematik oder Forscher in einem anderen Bereich und möchtest dich auf eine erste Expedition in die Tropen wagen? Dann ist dieses kurze Skript vielleicht das Richtige. A combinatorial patchworking of degree 30

Dieses Skript entstand aus einem Kompaktkurs für Bachelor Studenten ohne Vorkenntnisse zum Thema. Das Level ist darum sehr elementar, und der Schwerpunkt liegt auf Intuition und Veranschaulichung gegen¨ber Exaktheit und Tiefe.

Topologie reeller Varietäten

Kombinatorisches Patchworking

Einer der Vorläufer der tropischen Geometrie ist Viro's Patchworking Methode. Diese Methode erlaubt es, reelle algebraische Varietäten mit bestimmten topologischen Eigenschaften zu konstruieren. Unter dem folgenden Link findest du eine kleine Browseranwendung, mit der du die Methode selbst ausprobieren kannst.

Damit kannst du deine eigene reelle algebraische Kurve und hübsche Bilder wie das nebenstehende erzeugen.

Publikationen

Two planes intersect in a line

Lehre

Vorlesungen

Winter 17/18 Lineare Algebra I
Winter 17/18 Studiengrundlagen Mathematik für Geflüchtete
Sommer 17 Algebraische Geometrie I
Sommer 17 Studiengrundlagen Mathematik für Geflüchtete
Winter 16/17 Tropische Hodge-Theorie
Sommer 16 Reelle algebraische Kurven
Winter 15/16 Lineare Algebra I
Sommer 15 Algebra
Sommer 14 Algebraische Geometrie II
Winter 13/14 Algebraische Geometrie I
Sommer 13 Algebra
Winter 12/13 Enumerative Geometrie

(Pro-)Seminare

Sommer 16 Von der hyperbolischen Ebene zur Knotentheorie

Arbeitsgruppenseminare

fortlaufend Oberseminar
Sommer 17 Topologische Rekursion
Winter 16/17 Topologische Rekursion
Sommer 16 Integrable Systeme und tropischen Geometrie
Winter 15/16 Modulräume log-stabiler Abbildungen
Sommer 15 Cluster-Algebren
Sommer 14 Derivierte Kategorien
Winter 13/14 Zufallsmatrizen und Hurwitz-Zahlen
Sommer 13 Modulstacks von algebraischen Kurven
Winter 12/13 Berkovichräume
A real nodal quartic

Kontakt

Gluing pairs of pants

Email

johannes.rau (at) math.uni-tuebingen.de

Postanschrift

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Universität Tübingen
Auf der Morgenstelle 10
72076 Tübingen
Germany

Telefon

Fon: +49 (0)7071 29 78572
Fax: +49 (0)7071 29 4322

Büro

Büro C5 P43
Gebäude C, Ebene 5
Auf der Morgenstelle 10
72076 Tübingen
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