Fachbereich Mathematik
 

Vorlesung: Einführung in Geometrische Maßtheorie, WS 17/18

Glatte Mannigfaltigkeiten können nach einem Grenzübergang Singularitäten aufweisen. Die fehlende Kompaktheit führt zu Problemen z.B. bei der Existenztheorie von Minimalflächen. In der geometrischen Maßtheorie werden mit analytischen insbesondere maßtheoretischen Methoden Mannigfaltigkeiten zu Varifaltigkeiten oder Strömen verallgemeinert. Da diese Konzepte Singularitäten zulassen, müssen Begriffe wie Tangentialebene, mittlere Krümmung oder zweite Fundamentalform durch schwache Definitionen ersetzt werden. Die Existenztheorie für Variationsprobleme folgt dann dem bekannten Schema: Kompaktheitssätze ergeben die Existenz von Lösungen und eine sich daran anschließende Regularitätstheorie erlaubt die Interpretation der Lösung als glattes Objekt.

Zuerst werden in der Vorlesung die Maßtheoretischen Grundlagen wie Überdeckungssätze, Differentiationssätze für Maße, Hausdorff-Dichten, Flächen- und Koflächenformel erarbeitet. Danach konzentriert sich die Vorlesung auf die Theorie der rektifizierbaren und integralen Varifaltigkeiten, zu denen Definition und einfache Eigenschaften angegeben werden.

Die Vorlesung richtet sich an Studenten im 5.Semester oder höher. An Vorkenntnissen sind die Vorlesungen Analysis I - IV erforderlich. Kenntnisse in der Differentialgeometrie oder Maßtheorie sind hilfreich.

  1. Evans, L.C., Gariepy, R.F.: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
    CRC Press, Boca Raton - Ann Arbor - London, 1992.
  2. Federer, H.: Geometric Measure Theory,
    Springer Verlag, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, Berlin - Heidelberg - New York, 1969.
  3. Simon, L.: Lectures on Geometric Measure Theory,
    Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis Australian National University, Volume 3, 1983.

Dozenten: Professor Dr. Reiner Schätzle, C 5 A 40
Dr. Sascha Eichmann, C 5 A 32
Vorlesung: Di, Do 10-12 (c.t.), N16
am Di 06.02 von 10-12 (c.t.) im S 8
Übungen: Mo 16 - 18 (c.t.), S7, Beginn 30.Oktober
am 20.11 und 11.12 von 14-16 (c.t.) im D 8 H 08
Beginn: 19.Oktober
Prüfung: 13.Februar 2018

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Reiner Schätzle, Universität Tübingen. (e-mail: schaetz at everest.mathematik.uni-tuebingen.de)