\documentclass[12pt]{article}%psamsfonts Option fuer amsfonts
\usepackage{algebra,msc}
\renewcommand{\matrix}[2]{\left(\begin{array}{#1}#2\end{array}\right)}
\wenig
\begin{document}

   \Deutsch
   \Blatt{2}
   \Abgabe{28/04/1999}

   \Nr{A1}\textbf{[Isomorphies\"atze]} \\
   Es sei $G$ ein Gruppe, $U\leq G$ und $M, N\unlhd G$ mit
   $N\subseteq M$. Dann gelten
   \begin{enumerate}
      \item $U/(U\cap N)\cong (U\cdot N)/N$,
      \item $(G/N)/(M/N)\cong (G/M)$.
   \end{enumerate}

   \Nr{A2}\textbf{[Doppelnebenklassenzerlegung]}\\
   Sei $G$ eine Gruppe und $U,V\leq G$.
   \begin{enumerate}
      \item Es existiert eine Partition, die
        \emph{Doppelnebenklassenzerlegung}, von $G$ der Form
        \begin{displaymath}
          G=\coprod_{i\in I} Ug_iV,
        \end{displaymath}
        wobei $UgV=\left\{ugv|u\in U, v\in V\right\}$ eine
        \emph{Doppelnebenklasse} ist.
      \item Ist $|G|<\infty$ und $G=\coprod_{i=1}^r Ug_iV$, so
        gilt:
        \begin{displaymath}
          |UgV|=\frac{|U|\cdot|V|}{|U\cap
            gVg^{-1}|}=\frac{|U|\cdot|V|}{|g^{-1}Ug\cap V|}, \mbox{ und}
        \end{displaymath}
        \begin{displaymath}
          |G|=\sum_{i=1}^r\frac{|U|\cdot|V|}{|g_i^{-1}Ug_i\cap V|}.
        \end{displaymath}
   \end{enumerate}

\end{document}

