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\usepackage{algebra,tom}
\wenig
\begin{document}

   \Deutsch
   \Blatt{3}
   \Abgabe{11/05/1999}

   \Nr{A3}
   Es sei $\pi\in\Sym(n)$ und $\pi$ habe die Zyklenlängen
   $l_1,\ldots,l_k$. Zeige:
   \begin{enumerate}
     \item $|\pi|=\kgV(l_1,\ldots,l_k)$,
     \item $\sgn(\pi)=(-1)^{l_1-1}\cdots(-1)^{l_k-1}$.
   \end{enumerate}

   \Nr{A4}
   Es sei $P$ eine endliche $p$-Gruppe und $Q\lneqq P$. Zeige, daß
   \begin{displaymath}
     Q\lneqq N_P(Q).
   \end{displaymath}

   \Nr{A5}\textbf{[Satz von Cauchy]}\\
   Es sei $G$ eine endliche Gruppe und $p$ ein Primteiler der Ordnung
   $|G|$. Zeige, $G$ enthält ein Element der Ordnung $p$.\\
   {\small Hinweis: Betrachte $\Omega=\left\{X\subseteq G|\;
   |X|=p\right\}$, und  lasse $G$
   auf $\Omega$ operieren vermöge $f:G\rightarrow\Sym(\Omega)$,
   $f(g)X=gX=\left\{gx|x\in X\right\}$. Verwende Folgerung 2.8 aus der 
   Vorlesung.}

\end{document}

