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\usepackage{algebra,tom}
\wenig
\begin{document}

   \Deutsch
   \Blatt{4}
%   \Abgabe{28/04/1999}

   \PNr{P6}
   Es sei $(G,\cdot)$ eine Gruppe, $\emptyset\not=U\subseteq G$ eine endliche Teilmenge von
   $G$. Zeige, daß $U$ genau dann eine Untergruppe von $G$ ist, wenn
   $U$ bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist. 

%   \PNr{P6} 
%   Es sei $G$ eine Gruppe, $N,N_1,N_2\unlhd G$, $U\leq G$.\\
%   Dann gilt:
%   \begin{enumerate}
%     \item $NU\leq G$ und  $N_1N_2\unlhd G$.
%     \item $N\cap U\unlhd U$ und  $N_1\cap N_2\unlhd G$.
%     \item Aus $N_1\cap N_2 =\mathbbm 1$ folgt $n_1n_2=n_2n_1$ für alle $n_i\in N_i$.
%   \end{enumerate}

   \PNr{P7} 
   Sei $G$ eine endliche Gruppe und $U\leq G$ mit $|G:U|=n$.
   Dann besitzt $G$ einen Normalteiler $N\unlhd G$ mit $n\,|\,|G:N|$
   und $|G:N|\,|\,n!$. 
   \\ {\small (Hinweis: betrachte die Darstellung von $G$ auf den
     Linksnebenklassen von $U$.

   \PNr{P8}      
   Es sei $G$ ein endliche Gruppe, $p$ der minimale Primteiler von
   $|G|$ und $N<G$ mit $p=|G:N|$. 
   Dann ist $N\lhd G$.

   \PNr{P9}\textbf{[Frattiniargument]}\\
   Die Gruppe $G$ operiere auf der Menge $\Omega$, $N\unlhd G$ und
   $\Omega$ sei transitive $N$-Menge. 
   Dann gilt für alle $\omega\in \Omega$:       $G=G_\omega N$. 

   \PNr{P10}
     Es sei $p$ eine Primzahl, $\tau\in\Sym(p)$ eine
     Transposition und $\zeta\in\Sym(p)$ ein 
     p-Zyklus.
     Dann gilt: $\Sym(p)=\langle \tau,\zeta\rangle$.

   \PNr{P11}
   Es sei $G$ eine endliche Gruppe, $p$ eine Primzahl,
   $P\in\Syl_p(G)$, $N\unlhd G$, $U\leq G$.  
   \begin{enumerate}
      \item $P\unlhd G\;\Leftrightarrow\;\Syl_p(G)=\{P\}$
      \item $P\cap N\in\Syl_p(N)$
      \item $PN/N\in\Syl_p(G/N)$
      \item Ist $Q\in\Syl_p(U)$, dann $\exists\,
        \tilde{P}\in\Syl_p(G)\;:\; Q\subseteq \tilde{P}$. 
      \item Ist $Q\in\Syl_p(G/N)$, dann $\exists\,
        \tilde{P}\in\Syl_p(G)\;:\; Q=\tilde{P}N/N$. 
      \item Ist $N_G(P)\subseteq U$,
        dann gilt $U=N_G(U)$.
     \end{enumerate}

\end{document}

