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%\def\changebreak{no}

\usepackage{algebra,tom}
\wenig
\begin{document}

   \Deutsch
   \Blatt{5}
   \Abgabe{26/05/1999}

   \Nr{A6}
   Zeige, da{\ss} der Ring $R=\R^{nxn}=\left\{(a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n}|
     a_{ij}\in\R\right\}$ einfach ist, d.~h.~da{\ss} er nur die
   trivialen (zweiseitigen) Ideale $\{0\}$ und $R$ besitzt.\\
   {\footnotesize Hinweis: Zeige und verwende, da{\ss} gilt $E_{sk}\cdot
     (a_{ij})\cdot E_{lt}=a_{kl}\cdot E_{st}$, wobei
     $E_{st}=(\delta_{si}\delta_{tj})_{i,j=1,\ldots,n}$.}

   \Nr{A7}\textbf{[Boolesche Ringe]}\\
   Es sei $R$ ein Ring. 
   \begin{enumerate}
      \item Falls $x^2=x$ für alle $x\in R$, dann ist $R$
        kommutativ.\footnote{Ringe mit dieser Eigenschaft nennt man
          Boolesche Ringe.}
      \item Falls $x^3=x$ für alle $x\in R$, dann ist $R$
        kommutativ.\\
        {\footnotesize Hinweis: Verwende Präsenzaufgabe P19 auf Blatt 6.}
   \end{enumerate}

   \Nr{A8}\textbf{[Primelemente]}\\
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$, $0\not= p\in R$. Dann sind gleichwertig:
   \begin{enumerate}
      \item $p$ ist ein Primelement, d.~h.~$0\not= p$ ist keine
        Einheit und falls $a,b\in R$ mit $p|ab$, dann gilt $p|a$ oder
        $p|b$.
      \item $R/(p)\not=0$ ist ein Integritätsbereich.
   \end{enumerate}

\end{document}

