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\usepackage{algebra,tom}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.}
%\wenig
\begin{document}

   \Deutsch
   \Blatt{6}
%   \Abgabe{28/04/1999}

   \PNr{P12}\textbf{[Formaler Potenzreihenring]}\\
   Es sei $R$ ein kommutativer Ring, und
   $A=R[[x]]=\left\{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n| a_n\in R\right\}$ der Ring der
   formalen Potenzreihen, d.~h.~für $\sum_{n=0}^\infty
   a_nx^n,\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\in A$ definiert man
   \begin{displaymath}
     \left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right) + \left(\sum_{n=0}^\infty
       b_nx^n\right) = \sum_{n=0}^\infty (a_n+b_n)x^n
   \end{displaymath}
   und
   \begin{displaymath}
     \left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty
       b_nx^n\right) = \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) x^n.
   \end{displaymath}
   Zeige:
   \begin{enumerate}
      \item $A$ ist mit dieser Addition und Multiplikation ein Ring.
      \item Ist $R$ ein Integritätsbereich, so ist $A$ ein Integritätsbereich. 
      \item $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in A$ ist eine Einheit in $A$ genau dann 
        wenn $a_0$ eine Einheit in $R$ ist.
      \item Ist $R$ ein Körper, so ist $A$ ein Hauptidealring.
   \end{enumerate}

   \PNr{P13}\textbf{[Ring der ganzen Gauß'schen Zahlen]}
   \begin{enumerate}
      \item Zeige $R=\Z[i]=\{a+b\cdot i| a,b\in\Z\}\subseteq \C$ ist
        ein euklidischer Ring.\footnote{Betrachte das Quadrat der
          Betragsfunktion auf $\C$.}
      \item Bestimme die Einheiten von $R$.
   \end{enumerate}

   \PNr{P14}\textbf{[Nicht-ZPE-Ring]}\\
   Betrachte den Integritätsbereich
   $R=\Z[\sqrt{-5}]=\{a+b\cdot\sqrt{-5}|a,b\in\Z\}\subseteq\C$.
   \begin{enumerate}
      \item Bestimme die Einheiten von $R$.
      \item Zeige, daß $3$ irreduzibel in $R$ ist, aber kein
        Primelement.\footnote{Das heißt, daß $R$ kein ZPE-Ring ist.}
   \end{enumerate}

   \PNr{P15}\textbf{[Links-/Rechtsideale]}\\
   Sei $v\in K^n$ ein Spaltenvektor, und sei $I_v=\{v\cdot w^t|w\in
   K^n\}$. Zeige:
   \begin{enumerate}
      \item $I_v$ ist ein Rechtsideal von $K^{nxn}$, aber kein
        Linksideal, falls $v\not=0$ und $n\geq 2$.
      \item $I_v$ ist irreduzibel, d.~h.~$I_v$ enthält außer ${0}$ und 
        $I_v$ keine weiteren Rechts\-ideale.\footnote{Betrachte
          $v\cdot w^t\cdot E_{ij}$ für die verschiednen $i$ und $j$.}
   \end{enumerate}

   \PNr{P16}
   Setze $T:=\left\{\begin{pmatrix}r & z\\ 0 &
       s\end{pmatrix}|r,s\in\R, z\in\C\right\}\subseteq 
     \C^{2x2}$, und zeige, daß die vier-dimensionalen $\R$-Vektorräume
   \begin{displaymath}
     \R^{2x2},\; \H, T,\; \C^2,\; \C\oplus\R^2\; \mbox{ und }\; \R^4
   \end{displaymath}
   als Ringe nicht isomorph sind.

   \newpage

   \PNr{P17}\textbf{[Körper]}
   \begin{enumerate}
      \item Ist $R$ ein \emph{endlicher} nullteilerfreier Ring mit $1$, so ist $R$ ein
        Schiefkörper.\footnote{Mit P18 können wir die Voraussetzung
          ``mit $1$'' fallen lassen und erhalten sogar, daß $R$  ein
          Körper ist.}
      \item Ist $R$ ein kommutativer \emph{einfacher}\footnote{Ein
          Ring heißt \emph{einfach}, wenn er 
          nur die trivialen Ideale besitzt.}  Ring mit $1$, so ist $R$ ein
        Körper.
      \item Ist $R$ Integritätsbereich, der eine \emph{endlich-dimensionale} 
        $K$-Algebra ist, so ist $R$ ein Körper.
   \end{enumerate}

   \PNr{P18} Es sei $R$ ein Ring.
   \begin{enumerate}
      \item Ist $0$ das einzige nilpotente\footnote{Ein Element $x\in
          R$ heißt \emph{nilpotent}, falls es ein $n\in\N$ gibt mit $x^n=0$.}
        Element in $R$, so liegen
        alle Idempotenten\footnote{Ein Element $e\in R$ heißt
          \emph{idempotent}, wenn $e^2=e$ gilt.} im Zentrum\footnote{Das
          \emph{Zentrum} $Z(R)$ ist gegeben durch $Z(R)=\left\{z\in R|
            xz=zx\;\forall x\in R\right\}$.} von $R$.
      \item $I\lhd_r R$ regulär\footnote{Ein Rechtsideal $I\lhd R$ 
          heißt \emph{regulär}, falls es ein $e\in R$ gibt, so daß $r-er\in
          I$ $\forall\;r\in R$.}, dann gibt es ein maximales
        Rechtsideal $\m\lhd_r\hspace{-2pt}\cdot R$, das regulär ist
        und $I$ enthält.\footnote{Verwende das Lemma von Zorn.}
      \item Für das Jacobson-Radikal $J(R)$ in $R$ gilt:
        $$J(R):=\bigcap\left\{\m |
          \m\lhd_r\hspace{-2pt}\cdot R \mbox{ regulär}\right\}\subseteq 
          \left\{x\in R|\exists y\in R : xy-y-x=0\right\}=:{\mathcal
            M}.\footnote{Betrachte das 
          reguläre Rechtsideal $\{xy-y|y\in R\}$.}$$
      \item Gilt für $I\lhd_r R$, daß $I\subseteq{\mathcal M}$, dann
        gilt $I\subseteq J(R)$.\footnote{Elemente in $\mathcal M$
          nennt man \emph{rechts-quasi-regulär}, und entsprechend
          heißen Rechtsideale in $\mathcal M$ ebenfalls
          rechts-quasi-regulär. Mithin ist $J(R)$ das eindeutig
          bestimmte größte rechts-quasi-reguläre Rechtsideal. 
          Für den Beweis betrachte den
          Untermodul $(e+\m)\cdot J(R)$ des einfachen Rechtsmoduls
          $R/\m$, wobei 
          $\m\lhd_r\hspace{-2pt}\cdot R$ regulär mittels $e\in R$.}
   \end{enumerate}

   \PNr{P19}\textbf{[Kommutativitätskriterium von Jacobson]}\\
   Es sei $R$ ein Ring, in dem für alle $x\in R$ ein $n(x)>1$
   existiert mit $x^{n(x)}=x$. Dann ist $R$ \emph{kommutativ}.\\
   Wir zeigen:
   \begin{enumerate}
      \item $x\in R$ nilpotent, dann ist $x=0$.
      \item $x\in R$, dann ist $x^{n(x)-1}$ idempotent.
      \item Jedes Rechtsideal in $R$ ist ein zweiseitiges
        Ideal.\footnote{Verwende Aufgabe P18a.}
      \item Ist $R$ einfach, so ist $R$ ein
        Schiefkörper. 
      \item Ist $R$ ein Schiefkörper, so ist $R$
        kommutativ.\footnote{Der Beweis dieser Aussage ist im
          allgemeinen Fall schwierig, siehe I.~N.~Herstein, An
          Elementary Proof of a Theorem of Jacobson, Duke Mathematical 
          Journal 21 (1954), 45-48. Im Fall $n(x)=3$ für alle $x\in
          R$, folgt er jedoch unmittelbar aus der Präsenzaufgabe P3a.}
      \item $xy-yx\in J(R)$ für alle $x,y\in R$.\footnote{Für die
          Definition von $J(R)$ siehe Aufgabe P18c.}
      \item $J(R)=0$.\footnote{Verwende Aufgabe P18c.}
   \end{enumerate}

\end{document}

