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\usepackage{algebra,tom}
\wenig
\begin{document}

   \Deutsch
   \Blatt{7}
   \Abgabe{16/06/1999}

   \Nr{A9}\textbf{[Euklidischer Algorithmus]}\\
   Es sei $(R,d)$ ein euklidischer Ring, $a,b\in R$. \\
   Zeige, da{\ss} der grö{\ss}te gemeinsame Teiler $(a,b)$ von $a$ und 
   $b$ mit Hilfe des folgenden Algorithmus berechnet werden kann.\\
   Setze $r_{-1}:=b$ und $r_0:=a$, und finde sukzessive $q_i, r_{i+1}\in
   R$ so da{\ss} gilt:
   \begin{displaymath}
     r_{i-1}=q_i\cdot r_i +r_{i+1}, \mbox{ mit } d(r_{i+1}) < d(r_i).
   \end{displaymath}
   Der Algorithmus bricht ab, wenn $r_{n+1}=0$ f\"ur ein $n\geq 0$, und es 
   gilt:
   \begin{displaymath}
     r_n = (a,b).
   \end{displaymath}

   \Nr{A10}\textbf{[Ring der ganzen Gau{\ss}'schen Zahlen]}
   \begin{enumerate}
      \item Zeige $R=\Z[i]=\{a+b\cdot i| a,b\in\Z\}\subseteq \C$ ist
        ein euklidischer Ring.\footnote{Betrachte das Quadrat der
          Betragsfunktion auf $\C$.}
      \item Bestimme die Einheiten von $R$.
   \end{enumerate}
   
   \Nr{A11}\textbf{[Endliche K\"orper]}\\
   Es sei $\F=\GF(2)$ der K\"orper mit zwei Elementen. Zeige:
   \begin{enumerate}
      \item $\F[x]/(x^3+x+1)$ und $\F[x]/(x^3+x^2+1)$ sind K\"orper.
      \item Sind die beiden K\"orper isomorph? Falls ja, gib einen
        Isomorphismus an, falls nein, zeige, da{\ss} sie nicht
        isomorph sind. 
   \end{enumerate}
 
\end{document}

