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\usepackage{algebra,tom}
\begin{document}

   \Deutsch
   \Blatt{8}
   \Abgabe{30/06/1999}

   \Nr{A12}
   Es sei $K:F$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad $m$ und $f\in F[x]$
   mit $\deg(f)=n$. Gilt $(m,n)=1$ und ist $f$ irreduzibel über
   $F$, so ist $f$ auch irreduzibel über $K$.\footnote{Betrachte
     $K(a)$, wo $a$ eine Nullstelle von $f$ in seinem Zerfällungkörper 
     über $K$ ist.}

   \begin{varthm-roman-break}[Definition]
     Es sei $K:F$ eine \emph{algebraische} Körpererweiterung. 
     \begin{enumerate}
        \item $f\in F[x]$ heißt \emph{separabel}, falls kein
          irreduzibler Faktor von $f$ eine mehrfache Nullstelle in
          seinem Zerfällungskörper besitzt.
        \item $a\in K$ heißt
          \emph{separabel} über $F$, falls das Minimalpolynom von $a$ über
          $F$ separabel ist.
        \item $K:F$ heißt \emph{separabel}, falls jedes Element $a\in
          K$ separabel über $F$ ist. 
        \item $K:F$ heißt \emph{normal}, falls jedes irreduzible
          Polynom $f\in F[x]$, das eine 
          Nullstelle in $K$ besitzt, über $K$ in Linearfaktoren
          zerfällt. 
     \end{enumerate}
   \end{varthm-roman-break}

   \Nr{A13}\textbf{[Separabilität]}\\
   Es sei $K:F$ eine algebraische Körpererweiterung.
   \begin{enumerate}
      \item Für ein irreduzibles Polynom $f\in F[x]$ sind
        gleichwertig:
        \begin{enumerate}
           \item $f$ ist separabel,
           \item $f'\not=0$, wobei $f'$ die formale Ableitung von $f$ ist. 
        \end{enumerate}
      \item Ist $\Char(F)=0$, so ist $K:F$ separabel.
      \item Finde eine algebraische Körpererweiterung $K:F$, die nicht 
        separabel ist.\footnote{Betrachte $F=\F_p(x)$.}
   \end{enumerate}

   \Nr{14}\textbf{[Normale Körpererweiterungen]}\footnote{Jede der
     Aussagen läßt sich in zwei Zeilen beweisen!}\\
   Es sei $K:F$ eine endliche Körpererweiterung.
   \begin{enumerate}
      \item Ist $[K:F]=2$, so ist $K:F$ normal.
      \item Ist $K:F$ normal, so ist $K:F$ Zerfällungskörper eines
        Polynoms aus $F[x]$.
      \item Für $F\subseteq L\subseteq K$ sei
        $L:F$ normal, dann gelten:
        \begin{enumerate}
           \item $\alpha(L)=L$ für alle $\alpha\in\Gal(K:F)=\{\alpha\in\Aut(K)\;|\;\alpha_{|F}=\id_F\}$,
           \item $\Gal(K:F)_L=
             \{\alpha\in\Gal(K:F)\;|\;\alpha_{|L}=\id_L\}\unlhd \Gal(K:F)$.
        \end{enumerate}
   \end{enumerate}

\end{document}

