\documentclass[12pt]{article}%psamsfonts Option fuer amsfonts
\usepackage{algebra,tom}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.}
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Dient der Erkennung von Umlauten, etc.
\DeclareMathOperator{\Char}{char}
\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}

\begin{document}

   \Deutsch
   \Blatt{9}
%   \Abgabe{28/04/1999}

   \PNr{P20}\textbf{[Irreduzibilität]}
   \begin{enumerate}
      \item Es sei $R$ ein nullteilerfreier Ring,
        $\alpha\in\End(R[x])$ mit $\alpha_{|R}=\id_R$. Dann sind
        gleichwertig:
        \begin{enumerate}
           \item $\alpha\in\Aut(R[x])$,
           \item $\exists a\in R^*, b\in R\; : \; \alpha(x)=ax+b$.
        \end{enumerate}
      \item Es sei $R$ ein Integritätsbereich und $\alpha\in\Aut(R[x])$
        mit $\alpha_{|R}=\id_R$, dann sind gleichwertig:
        \begin{enumerate}
           \item $f\in R[x]$ ist irreduzibel,
           \item $\alpha(f)\in R[x]$ ist irreduzibel.
        \end{enumerate}
      \item Es sei $R$ ein Integritätsbereich, $P\lhd R$ ein Primideal 
        und $f\in R[x]$ normiert. Ist $\overline{f}\in
        (R/P)[x]$ irreduzibel,\footnote{Für $f=\sum_{i=0}^n a_ix^i$ mit $a_i\in R$
          bezeichne $\overline{a}_i$ die Restklasse von $a_i$ in
          $R/P$, dann nennen wir
          $\overline{f}=\sum_{i=0}^n\overline{a}_ix^i\in (R/P)[x]$ die
          \emph{Reduktion von $f$ modulo $P$}.} so ist $f$ irreduzibel 
        in $R[x]$.
      \item Es sei $R$ ein faktorieller Ring, $P\lhd R$ ein Primideal 
        und $f=\sum_{i=0}^n a_i x^i\in R[x]$ mit
        $\ggT(a_1,\ldots,a_n)=1$ und $a_n\not\in P$. Ist $\overline{f}\in
        (R/P)[x]$ irreduzibel, so ist $f$ irreduzibel 
        in $R[x]$.
      \item Das Polynom $95x^7+25707x^3-59983x^2-188518$ ist
        irreduzibel über $\Q$, aber reduzibel über $\Z$.
      \item Für $n\in\N$ ist $x^{2^n}+1$ irreduzibel über $\Z$ und
        über $\Q$.
      \item $f=y^3-x^2y^2+x^2-3xy+1\in\Z[x,y]=R[x]$ ist
        irreduzibel über $R=\Z[y]$.\footnote{Betrachte die Reduktion
          von $f$ modulo $yR$.}
   \end{enumerate}

   \PNr{P21}\\
   Eine Körpererweiterung $L:K$ ist genau dann algebraisch, wenn jeder 
   Zwischenring $K\subseteq R\subseteq L$ ein Körper ist.

   \PNr{P22}\\
   Ist $R$ ein kommutativer Ring mit $1_R\not=0_R$ in dem alle echten
   Hauptideale Primideale sind, dann ist $R$ ein
   Körper.\footnote{Betrachte $a^2R$ für $a\in R$.}

   \Nr{P23}\textbf{[Körpererweiterungen]}\\
   Bestimme für die folgenden $a\in\R$ das Minimalpolynom über $\Q$
   und den Grad der Körpererweiterung $\Q(a):\Q$:
   \begin{enumerate}
      \item $a=\sqrt{3}+\sqrt[3]{5}$,
      \item $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$.
   \end{enumerate}

   \PNr{P24}\textbf{[Zerfällungskörper]}\\
   Bestimme für die folgenden Polynome die Zerfällungskörper $K$ über dem
   jeweils angegebenen Grundkörper $F$ sowie den Grad der
   Körpererweiterung $K:F$:
   \begin{enumerate}
      \item $f=x^p-1$ mit $F=\Q$, wobei $p$ eine Primzahl ist,
      \item $f=(x^2-3)(x^2-5)$ mit $F=\Q$, und
      \item $f=x^3+x+1$ mit $F=\GF(2)$.
   \end{enumerate}

   \PNr{P25}
   $F$ sei ein Körper mit $\Char(F)=p>0$.
   \begin{enumerate}
      \item Für ein irreduzibles $f\in F[x]$ sind äquivalent:
        \begin{enumerate}
           \item $f$ ist separabel,
           \item $\exists g\in F[x]\; : \; f=g(x^p)$.
        \end{enumerate}
      \item Es sind gleichwertig:
        \begin{enumerate}
           \item $F$ ist \emph{vollkommen}, d.~h.~jedes Polynom in
             $F[x]\setminus F$ ist separabel.
           \item Der \emph{Frobeniusmonomorphismus}
             $\alpha:F\rightarrow F:a\mapsto a^p$ ist ein Automorphismus.
        \end{enumerate}
      \item Für $f=x^p-a\in F[x]$ sind gleichwertig:
        \begin{enumerate}
           \item $f$ ist reduzibel über $F$,
           \item $\exists b\in F \; :\; b^p=a$.\footnote{Über seinem
               Zerfällungskörper hat $f$ die Gestalt $f=(x-b)^p$.}
        \end{enumerate}
   \end{enumerate}

   \PNr{P26}\textbf{[endliche Körper]}\\
   Es sei $p$ eine Primzahl, $n\in\N$. 
   \begin{enumerate}
      \item Bis auf Isomorphie existiert genau ein Körper $K$ mit
        $|K|=p^n$, nämlich der Zerfällungskörper von
        $x^{p^n}-x\in\GF(p)[x]$. Wir schreiben für $K$ auch
        $\GF(p^n)$.\footnote{Verwende ohne Beweis, daß
          die multiplikative Gruppe $(K^*,\cdot)$ zyklisch ist,
          vgl.~Skript, Satz 9.10.}
      \item $\GF(p^m)\subseteq\GF(p^n)$ genau dann, wenn
        $m|n$.\footnote{Verwende den Hauptsatz der Galois-Theorie.}
      \item $K=\bigcup_{n\in\N}\GF(p^n)$ ist der algebraische Abschluß 
        von $\GF(p)$, d.~h.~$K:\GF(p)$ ist eine algebraische
        Körpererweiterung und für jedes Polynom $f\in K[x]$ ist $K$ der
        Zerfällungskörper von $f$. 
   \end{enumerate}


\end{document}

