\documentstyle[theorem,12pt,german]{article}

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% Zu verwendende Regelsaetze
\theoremstyle{break}
\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{defn}{Definition}
\newtheorem{defthm}[defn]{Definition and Theorem}
\newtheorem{construction}{Construction}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
 \newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{remark}{Remark}


% Umgebung fuer Voraussetzungen
 \newenvironment{beh}{{\rm \bf Beh.:} \it}{}
 \newenvironment{beweis}{\rm {\bf Beweis:}}{\hspace*{\fill}\mbox{$ ^{\Box}$}}


% Abkuerzungen
\newcommand{\be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ee}{\end{enumerate}}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.}
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\newcommand{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ei}{\end{itemize}}

% Abblidungen  1: Abbildung                        2: Inklusion
%              3: Abbildung (Name \"uber dem Pfeil)  4: Inklusion (Name \"Uber dem Pfeil)
%              4: Einschraenkung (ohne Definitions- & Wertebereich
%              5: Einschraenkung (mit  Definitions- & Wertebereich
\newcommand{\abbil}[3]{\mbox{$#1 : #2 \rightarrow #3$}}
\newcommand{\einbet}[3]{\mbox{$#1 : #2 \hookrightarrow #3$}}
\newcommand{\abbild}[3]{\mbox{$#2 \stackrel{#1}{\longrightarrow} #3$}}
\newcommand{\einbett}[3]{\mbox{$#2 \stackrel{#1}{\hookrightarrow} #3$}}
\newcommand{\einschr}[2]{\mbox{$#1_{\mid #2}$}}
\newcommand{\einschra}[4]{\abbil{\einschr{#1}{#2}}{#3}{#4}}

% Zeichen fuer Zahlsysteme  N, Z, Q, R, C, C (verkleinert) und C^n x C^k
\newcommand{\N}{{\rm I\hspace{-3pt} N}}
\newcommand{\Z}{{\bf Z}}
\newcommand{\Q}{\mbox{\rm Q\hspace{-6pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{7pt} \hspace{3pt}}}
 \newcommand{\R}{{\rm I\hspace{-3pt} R}}
\newcommand{\C}{\mbox{\rm C\hspace{-5.5pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{6.8pt} \hspace{3pt}}}
\newcommand{\kleinC}{\mbox{\scriptsize \rm C\hspace{-4pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{4.5pt}\hspace{2pt}}}
 \newcommand{\NI}{\mbox{$\cal I \hspace{-0.25cm}-$}}
 \newcommand{\I}{\mbox{$\cal I$}}

% Bilder und Urbilder von einzelnen Punkten
\newcommand{\bild}[2]{\mbox{$#1 \mbox{$\scriptstyle (#2)$}$}}
\newcommand{\urbild}[2]{\mbox{$#1^{-1} \mbox{$\scriptstyle (#2)$}$}}

% Vektoren und endliche Punktmengen
\newcommand{\klam}[1]{\mbox{$\left(#1\right)$}}
\newcommand{\punkt}[2]{\mbox{$\left(#1,#2\right)$}}
\newcommand{\punktmengeA}[3]{\mbox{$\left\{#1_#2,\ldots,#1_#3\right\}$}}
\newcommand{\punktmengeB}[4]{\mbox{$\left\{\punkt{#1_#3}{#2},\ldots,\punkt{#1_#4}{#2}\right\}$}}
\newcommand{\punktmengeC}[4]{\mbox{$\left\{\punkt{#1}{#2_#3},\ldots,\punkt{#1}{#2_#4}\right\}$}}
\newcommand{\vect}[3]{\mbox{$\left(#1_#2,\ldots,#1_#3\right)$}}
\newcommand{\menge}[1]{\mbox{$\left\{#1\right\}$}}





\begin{document}

   \begin{center}
      \large \bf
      \"Ubungen zur Geometrie I im SS 95, Blatt 1
   \end{center}
   \begin{aufgabe}
      \begin{beh}
         Gegeben sei eine Geometrie $\cal E = (P,G,I)$ vom Rang 2.
         \\
         Genau dann ist $\cal E$ ist eine projektive Ebene,
         wenn folgende drei Axiome erf\"ullt sind.
         \bi
            \item[(P1)] Je zwei verschiedene Punkte inzidieren mit genau
               einer Geraden.
            \item[(P2)] Je zwei verschiedene Geraden inzidieren mit einem
               Punkt.
            \item[(P3)] Es gibt vier Punkte, von denen keine drei auf einer
               gemeinsamen Geraden liegen.
         \ei
      \end{beh}
   \end{aufgabe}
   \begin{beweis}
      \\
      {\bf ``$\Longleftarrow$'' } Klar: (P1) $\Rightarrow$ (A1) und (P2) $\Rightarrow$ (A2).
      \\
      {\bf Zeige:} (A4) gilt.
      \\
      Seien $A, B, C, D$ die vier Punkte, die gem\"a{\ss} (P3) existieren.
      \\
      Ang.: $AB \I CD \Rightarrow C \I AB \Rightarrow A,B,C \in (AB)$ $\dagger$.
      \\
      Also: $AB \NI CD \Rightarrow \mid {\cal G} \mid \geq 2$.
      \\
      {\bf Zeige:} (A3) gilt.
      \\
      Sei $g\in{\cal G}$ beliebig. O.B.d.A.: $A\NI g$ (gem\"a{\ss} (P3)).
      \\
      (A2) $\Rightarrow g \cap AB = G_1, g \cap AC = G_2$ und $g \cap AD = G_3$.
      \\
      Ang.: $G_1 \I G_2 \Rightarrow G_1\I AB \NI AC \I G_1 \Rightarrow
      G_1 = AB \cap AC = A \Rightarrow A \I g$ $\dagger$.
      \\
      Analog: $G_2 \NI G_3 \NI G_1$.
      \\
      Also: $\mid (g)\mid \geq 3$.
      \\
      {\bf ``$\Longrightarrow$'' } Klar: (A1) $\Rightarrow$ (P1) und (A2) $\Rightarrow$ (P2).
      \\
      {\bf Zeige:} (P3) gilt.
      \\
      (A4) $\Rightarrow \exists g, h \in {\cal G}: g \not= h$.
      \\
      (A2) $\Rightarrow g \cap h = S.$
      \\
      (A4) $\Rightarrow g \& h$ inzidieren mit je zwei weiteren Punkten
      $G_1 \not= G_2$ und $H_1 \not= H_2$.
      \\
      (A1)$^d \Rightarrow H_1 \NI G_1G_2=g, H_2 \NI G_1G_2=g, G_1 \NI H_1H_2=h$ und
      $G_2 \NI H_1H_2=h$.
      \\
      Ang.: $G_1 \I G_2H_1$. Da auch $G_2 \I G_2H_1$ folgt mit (A1):
      $g = G_1G_2 = G_2H_1 \Rightarrow H_1 \I g$  $\dagger$.
      \\
      Also: $G_1 \NI G_2H_1$.
      \\
      Analog: $H_2 \NI G_2H_1, H_1 \NI G_1H_2$ und $G_2 \NI G_1H_2$.
      \\
      Damit ist (P3) gezeigt.
      \\
   \end{beweis}
   \begin{aufgabe}
      Gegeben sei die Punktmenge $\{t_1,...,t_{31}\}$ sowie die Geradenmenge
      $\{S_1,...,S_{31} \}$. Bei den $t_i$ handele es sich um Fernsprechteilnehmer,
      die wie folgt mit den Schaltstellen $S_j$ verbunden seien: an $S_k$ seien
      $t_k, t_{k+1},t_{k+3},t_{k+8},t_{k+12}$ und $t_{k+18}$ angeschlossen.
      Wir sagen $t_i$ inzidiert mit $S_j$ genau dann, wenn $t_i$ an $S_j$ angeschlossen
      ist. In diesem Fall setze $a_{ij}=1$, sonst gleich 0. Sei nun $A=(a_{ij})$.
      \bi
         \item[a.]
            \begin{beh}
               $AA^T = A^TA = I + 5E$, wobei $I = (d_{ij})$ mit $d_{ij} = 1$ $ \forall i,j$.
            \end{beh}
         \item[b.]
            \begin{beh}
               Aus a. folgen unmittelbar (P1) und (P2).
            \end{beh}
         \item[c.]
            \begin{beh}
               (P3) gilt.
            \end{beh}
      \ei
   \end{aufgabe}
   \begin{beweis}
      \bi
         \item[a.] Stelle die Matrix $A = (a_{ij})$ auf. In der j-ten Spalte steht eine
            1 genau dann, wenn der entsprechende Teilnehmer an die Schaltstelle
            $S_j$ angeschlossen ist und 0 sonst.
            F\"ur $j=1$ ist das in den Zeilen 1, 2, 4, 9, 13 und 19, f\"Ur die
            folgenden Spalten um je eine Zeile nach unten verschoben, wobei
            die Zahlen, die unten aus der Spalte rausfallen, oben wieder
            reinkommen.
            \scriptsize
            \[
               \left[
               \begin{array}{ccccccccccccccccccccccccccc}
                  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &     \cdots        & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
                  1 & 1 &   &   &   &   &   &                   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   \\
                  0 & 1 & 1 &   &   &   &   &                   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 \\
                  1 &   & 1 & 1 &   &   &   &                   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   \\
                  0 & 1 &   & 1 & 1 &   &   &                   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   \\
                  0 &   & 1 &   & 1 & 1 &   &                   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   \\
                  0 &   &   & 1 &   & 1 & 1 &                   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   \\
                  0 &   &   &   & 1 &   & 1 &                   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 \\
                  1 &   &   &   &   & 1 &   &                   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 & 1 &   &   &   &   & 1 &                   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 &   & 1 &   &   &   &   &                   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 &   &   & 1 &   &   &   &                   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   &   \\
                  1 &   &   &   & 1 &   &   &                   & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   &   \\
                  0 & 1 &   &   &   & 1 &   &                   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   &   \\
                  0 &   & 1 &   &   &   & 1 &                   &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   \\
                  0 &   &   & 1 &   &   &   &                   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   &   \\
                  0 &   &   &   & 1 &   &   &     \cdots        &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 &   \\
                  0 &   &   &   &   & 1 &   &                   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   & 1 \\
                  1 &   &   &   &   &   & 1 &                   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 & 1 &   &   &   &   &   &                   &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 &   & 1 &   &   &   &   &                   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 &   &   & 1 &   &   &   &                   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 &   &   &   & 1 &   &   &                   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 &   &   &   &   & 1 &   &                   &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   &   \\
                  0 &   &   &   &   &   & 1 &                   & 1 &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   &   \\
                  0 &   &   &   &   &   &   &                   &   & 1 &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   &   \\
                  0 &   &   &   &   &   &   &                   &   &   & 1 &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   &   \\
                  0 &   &   &   &   &   &   &                   &   &   &   & 1 &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   &   \\
                  0 &   &   &   &   &   &   &                   &   &   &   &   & 1 &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   &   \\
                  0 &   &   &   &   &   &   &                   &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1 &   \\
                  0 &   &   &   &   &   &   &      \cdots       & 1 &   &   &   &   &   & 1 &   &   &   & 1 &   &   &   &   & 1 &   & 1 & 1
               \end{array}
               \right]
            \]
            \normalsize
            Beachte: Die Spalten von $A$ sind genau die Zeilen von $A^T$
            und umgekehrt.
            \\
            Seien nun $AA^T = (b_{ij})$ und $A^TA = (c_{ij})$.
            Dann gilt:
            \begin{equation}
               b_{ij} = \sum_{k=1}^{31} a_{ik}a_{jk}
               \mbox{ und }
               c_{ij} = \sum_{k=1}^{31} a_{ki}a_{kj}.
               \label{bij}
            \end{equation}
            \\
            D.h. man erh\"alt $b_{ij}$ indem man f\"ur die i-te und j-te  Zeile
            von $A$ jeweils die Elemente der gleichen Spalte miteinander
            multipliziert und das Ergebnis auf\-sum\-miert. Da aber f\"ur
            zwei verschiedene Zeilen nur in genau einer Spalte beide Male
            eine 1 steht, ist das Ergebnis $b_{ij} = 1$ f\"ur $i\not= j$.
            Da ferner eine Zeile genau sechs Einsen enth\"alt, gilt
            $b_{ii}=6$ f\"ur $i=1,...,31$.
            \\
            Analog erh\"alt man die Ergebnisse f\"ur die $c_{ij}$ durch
            vertauschen der Begriffe Zeile und Spalte.
            \\
            Insgesamt erhalten wir a.
         \item[b.] {\bf Zeige:} (P1) gilt.
            \\
            Seien $t_i$ und $t_j$ mit $i\not=j$ zwei Punkte.
            Wir m\"ussen zeigen, es existiert genau eine Gerade $S_k$,
            mit der beide Punkte inzidieren, da{\ss} heiYt es existiert
            genau eine Schaltstelle, mit der beide verbunden sind.
            Es gilt $a_{ik}a_{jk}=1$ genau dann, wenn sowohl $t_i$
            als auch $t_j$ mit $S_k$ verbunden sind. Aus Formel (\ref{bij})
            und $b_{ij}=1$ folgt unmittelbar, da{\ss} es genau eine Gerade $S_k$
            gibt, mit der beide Punkte inzidieren.
            \\
            {\bf Zeige:} (P2) gilt.
            \\
            Seien $S_i$ und $S_j$ mit $i\not= j$ zwei Geraden.
            Wir m\"ussen zeigen, diese inzidieren mit einem gemeinsamen
            Punkt. Es gilt $a_{ki}a_{kj}=1$ genau dann, wenn sowohl
            $S_i$ als auch $S_j$ mit $t_k$ inzidieren. Aus Formel (\ref{bij})
            und $c_{ij}=1$ folgt unmittelbar, da{\ss} es genau einen Punkt $t_k$
            gibt, mit dem beide Geraden inzidieren.
         \item[c.] Per Definition gibt es 31 Geraden, woraus (A4) folgt, und
            jede Schaltstelle ist mit sechs Teilnehmern verbunden, d.h.
            inzidiert mit sechs Punkten, woraus (A3) folgt.
            Mit Aufgabe 3 erhalten wir also (P3).
      \ei
   \end{beweis}
   \begin{aufgabe}
      \bi
         \item[1.]
            \begin{beh}
               F\"ur die Klasse ${\cal K}_1  =\{$ endliche Geometrien
               vom Rang 2 $\}$ gilt das
               Dualit\"atsprinzip.
            \end{beh}
         \item[2.]
            \begin{beh}
               F\"ur die Klasse ${\cal K}_2  =\{$ Geometrien vom Rang 2,
               deren Punktmenge endlich ist $\}$ gilt das
               Dualit\"atsprinzip nicht.
            \end{beh}
         \item[3.]
            \begin{beh}
               F\"ur die Klasse ${\cal K}_3  =\{$ Geometrien vom
               Rang 2, bei denen jeder Punkt mit einer konstanten
               Anzahl von Geraden und jede Gerade mit einer
               konstanten Anzahl von Punkten inzidiert  $\}$ gilt das
               Dualit\"atsprinzip.
            \end{beh}
         \item[4.]
            \begin{beh}
               F\"ur die Klasse ${\cal K}_4  =\{$ Geometrien vom Rang
               2, bei denen jeder Punkt mit n Geraden und \hspace{-1pt}
               jede Gerade
               mit m Punkten inzidiert$\}$ gilt das
               Dualit\"atsprinzip nur, falls n=m.
            \end{beh}
         \item[5.]
            \begin{beh}
               F\"ur die Klasse ${\cal K}_5  =\{$ Geometrien vom Rang 2,
               die das Axiom (P1) erf\"ullen  $\}$ gilt das
               Dualit\"atsprinzip nicht.
            \end{beh}
         \item[6.]
            \begin{beh}
               F\"ur die Klasse ${\cal K}_6  =\{$ Geometrien vom Rang 2,
               in denen durch je zwei Punkte h\"ochstens eine Gerade
               geht  $\}$ gilt das
               Dualit\"atsprinzip.
            \end{beh}
         \item[7.]
            \begin{beh}
               F\"ur die Klasse ${\cal K}_7  =\{$ Geometrien vom Rang 2,
               in denen durch je zwei Punkte h\"ochstens zwei Geraden
               gehen  $\}$ gilt das
               Dualit\"atsprinzip nicht.
            \end{beh}
      \ei
   \end{aufgabe}
   \begin{beweis}
      \bi
         \item[1.] Sei ${\cal E}=({\cal P},{\cal G},{\cal I}) \in {\cal K}_1$, dann sind $\cal P$ und
             $\cal G$ endlich. Aber dann ist auch ${\cal E}^{d} = ({\cal G},{\cal P},{\cal I})$
             eine endliche Geometrie, also in ${\cal K}_1$.
         \item[2.] \underline{\bf Gegenbeispiel:} ${\cal P} = \{ \mbox{Koordinatenursprung im
             $\R^3$} \}$ und ${\cal G} = \{$ Gera\-den durch den Ur\-sprung
             $\}$ mit der mengentheoretischen Inklusion als Inzidenz liefert
             eine Geometrie in ${\cal K}_2$, deren duale Geometrie nicht in
             ${\cal K}_2$ liegt.
         \item[3.] Klar.
         \item[4.] Klar.
         \item[5.] \underline{\bf Gegenbeispiel:} $K_4$ = voller Graph auf
             vier Punkten.
             \\[2cm]
         \item[6.] Sei ${\cal E}=({\cal P},{\cal G},{\cal I}) \in {\cal K}_6$.
             \\
             Ang.: $\exists g,h \in {\cal G}$ so, da{\ss} $g$ und $h$ mit mehr
             als einem Punkt inzidieren, etwa mit $P, Q \in {\cal P}$.
             Dann gilt, $P$ und $Q$ inzidieren mit mehr als einer Geraden.
             $\dagger$
             \\
             Also gilt: je zwei Geraden inzidieren mit h\"ochstens einem
             Punkt, und folglich ist ${\cal E}^{d}$ in ${\cal K}_6$.
         \item[7.] \underline{\bf Gegenbeispiel:} Sei $\cal P$ eine dreipunktige
             Menge und $\cal G$ eine zweipunktige. Die Inzidenz sei dadurch gegeben,
             da{\ss} alle Elemente von $\cal P$ mit allen Elementen von $\cal G$
             inzidieren. Diese Geometrie liegt in ${\cal K}_7$. Da die beiden
             Geraden aber mit je drei Punkten inzidieren, liegt ihr duales
             nicht in ${\cal K}_7$.
      \ei
   \end{beweis}
   \begin{aufgabe}
      \bi
         \item[a.]
            \begin{beh}
               Die $S^1$ wird mit den antipodalen Punktmengen als Punkten
               und den Gro{\ss}kreisen als Geraden sowie der mengentheoretischen
               Inklusion als Inzidenz zu einer projektiven Geometrie.
            \end{beh}
         \item[b.]
            \begin{beh}
               L\"a{\ss}t man die Paarbildung bei der Definition der Punkte weg,
               so wird (A1) verletzt.
            \end{beh}
      \ei
   \end{aufgabe}
   \begin{beweis}
      \bi
        \item[a.] Klar ist, da{\ss} $S^1 = \{ \pm(x,y,z)\mid (x,y,z)\in S^1 \}
            \cup \{\mbox{Gro{\ss}kreise}\}$ auf diese Weise zu einer Geometrie vom
            Rang 2 wird.
            \\
            (A3) und (A4) sind offensichtlich erf\"ullt.
            \\
            \underline{\bf Zeige:} (A1) gilt.
            \\
            Seien $P_1=\{\pm (x_1,y_1,z_1)\}\not=\{\pm (x_2,y_2,z_2)\}=P_2$ zwei Punkte von
            $S^1$. Dann sind die Punkte $P_1, P_2$ und der Ursprung in der
            Anschauungsgeometrie des $\R^3$ nicht kollinear, spannen also eine
            Ebene durch den Ursprung auf. Diese schneidet einen Gro{\ss}kreis aus
            der $S^1$, welcher die einzige Gerade ist, die mit den Punkten
            $P_1$ und $P_2$ zugleich inzidiert.
            \\
            \underline{\bf Zeige:} (A2) gilt.
            \\
            Klar, zwei Gro{\ss}kreise schneiden sich in zwei antipodalen Punkten,
            die somit als Schnitt\-punkt der beiden Geraden zusammengefa{\ss}t werden.
        \item[b.] Durch zwei antipodale Punkte von $S^1$ gehen offensichtlich
            unendlich viele Gro{\ss}\-krei\-se, also w\"are (A1) verletzt.
      \ei
   \end{beweis}
\end{document}

