\documentstyle[theorem,12pt,german]{article}

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% Zu verwendende Regelsaetze
\theoremstyle{break}
\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{defn}{Definition}
\newtheorem{defthm}[defn]{Definition and Theorem}
\newtheorem{construction}{Construction}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
 \newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{remark}{Remark}


% Umgebung fuer Voraussetzungen
 \newenvironment{beh}{{\rm \bf Beh.:} \it}{}
 \newenvironment{beweis}{\rm {\bf Beweis:}}{\hspace*{\fill}\mbox{$ ^{\Box}$}}


% Abkuerzungen
\newcommand{\be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ee}{\end{enumerate}}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.}
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\newcommand{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ei}{\end{itemize}}

% Abblidungen  1: Abbildung                        2: Inklusion
%              3: Abbildung (Name \"uber dem Pfeil)  4: Inklusion (Name \"Uber dem Pfeil)
%              4: Einschraenkung (ohne Definitions- & Wertebereich
%              5: Einschraenkung (mit  Definitions- & Wertebereich
\newcommand{\abbil}[3]{\mbox{$#1 : #2 \rightarrow #3$}}
\newcommand{\einbet}[3]{\mbox{$#1 : #2 \hookrightarrow #3$}}
\newcommand{\abbild}[3]{\mbox{$#2 \stackrel{#1}{\longrightarrow} #3$}}
\newcommand{\einbett}[3]{\mbox{$#2 \stackrel{#1}{\hookrightarrow} #3$}}
\newcommand{\einschr}[2]{\mbox{$#1_{\mid #2}$}}
\newcommand{\einschra}[4]{\abbil{\einschr{#1}{#2}}{#3}{#4}}

% Zeichen fuer Zahlsysteme  N, Z, Q, R, C, C (verkleinert) und C^n x C^k
\newcommand{\N}{{\rm I\hspace{-3pt} N}}
\newcommand{\Z}{{\bf Z}}
\newcommand{\Q}{\mbox{\rm Q\hspace{-6pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{7pt} \hspace{3pt}}}
 \newcommand{\R}{{\rm I\hspace{-3pt} R}}
\newcommand{\C}{\mbox{\rm C\hspace{-5.5pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{6.8pt} \hspace{3pt}}}
\newcommand{\kleinC}{\mbox{\scriptsize \rm C\hspace{-4pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{4.5pt}\hspace{2pt}}}
 \newcommand{\NI}{\mbox{$\cal I \hspace{-0.25cm}-$}}
 \newcommand{\I}{\mbox{$\cal I$}}
 \newcommand{\PR}{{\rm I\hspace{-3pt} P}}

% Bilder und Urbilder von einzelnen Punkten
\newcommand{\bild}[2]{\mbox{$#1 \mbox{$\scriptstyle (#2)$}$}}
\newcommand{\urbild}[2]{\mbox{$#1^{-1} \mbox{$\scriptstyle (#2)$}$}}

% Vektoren und endliche Punktmengen
\newcommand{\klam}[1]{\mbox{$\left(#1\right)$}}
\newcommand{\punkt}[2]{\mbox{$\left(#1,#2\right)$}}
\newcommand{\punktmengeA}[3]{\mbox{$\left\{#1_#2,\ldots,#1_#3\right\}$}}
\newcommand{\punktmengeB}[4]{\mbox{$\left\{\punkt{#1_#3}{#2},\ldots,\punkt{#1_#4}{#2}\right\}$}}
\newcommand{\punktmengeC}[4]{\mbox{$\left\{\punkt{#1}{#2_#3},\ldots,\punkt{#1}{#2_#4}\right\}$}}
\newcommand{\vect}[3]{\mbox{$\left(#1_#2,\ldots,#1_#3\right)$}}
\newcommand{\menge}[1]{\mbox{$\left\{#1\right\}$}}

\newcommand{\ueber}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}}
\newcommand{\drueber}[2]{\mbox{$#1^{^{\mbox{\hspace{-15pt}\tiny #2}}}\hspace{15pt}$}}



\begin{document}

   \begin{center}
      \large \bf
      \"Ubungen zur Geometrie I im SS 95, Blatt 3
   \end{center}
   \setcounter{aufgabe}{0}
   \begin{aufgabe}
      \be
         \item
            \begin{beh}
               Seien $p$ eine Primzahl, $d, n\in\N$.
               \\
               Dann gibt es einen projektiven Raum $\PR$ der Ordnung $p^n$ und
               der Dimension $d$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Sei $K=GF(p^n)$ der endliche K\"orper mit $p^n$ Elementen und
               $V=GF(p^n)^{d+1}$ ein $d+1$-dimensionaler Vektorraum \"uber $K$.
               \\
               Sei ferner $\PR = \PR (V)$ der zu $V$ geh\"orige projektive Raum.
               Aufgabe 3 c. von Blatt 3 impliziert, da{\ss} $\dim(\PR)=d$.
               \\
               \underline{Zeige:} $U\leq V$ mit $\dim(U)=2 \Rightarrow \exists_1 p^n+1$
               Unterr\"aume $W\leq U$ mit $\dim(W)=1$.
               \\
               Sei dazu ${\cal B}=\{v,w\}$ \hspace{-2pt}eine Basis \hspace{-2pt}von
               $U$. Dann sind
               die Vektoren \hspace{-3pt}\menge{w,v+kw\mid k\in K} paar\-weise linear unab\-h\"angig
               und folglich die 1-dimensionalen Unterr\"aume $\langle w\rangle$ und
               ${\langle v+kw\rangle}$ f\"ur $k\in K$ paarweise verschieden.
               \\
               Also gibt es mindestens $\mid K\mid +1 = p^n+1$ 1-dimensionale
               Unterr\"aume in $U$.
               \\
               Sei andererseits $0\not= \langle u\rangle \leq U$, dann
               gibt es $k, l \in K$ mit $u=kv+lw$.
               \\
               1. Fall: $k = 0$ $\Rightarrow \langle u\rangle = \langle w\rangle$.
               \\
               2. Fall: $k\not=0$ $\Rightarrow \langle u\rangle = \langle v+k^{-1}lw\rangle$.
               \\
               Also sind mit obiger Betrachtung auch alle 1-dimensionalen Unterr\"aume
               von $U$ erfa{\ss}t.
               \\
               \underline{Damit} gilt: jede \glqq Gerade\grqq von $\PR$ hat
               genau $p^n+1$ \glqq Punkte\grqq, also hat $\PR$ Ordnung $p^n$.
               \\
            \end{beweis}
      \ee
   \end{aufgabe}

   \setcounter{aufgabe}{2}
   \begin{aufgabe}
      \be
         \item
            \begin{beh}
               Sei $\PR=({\cal P},{\cal G},{\cal I})$ und \abbil{\alpha}{\cal P}{\cal P}
               eine Bijektion.
               \\
               Dann gilt: $\alpha$ l\"a{\ss}t sich zu einer Kollineation von $\PR$
               fortsetzen 
               \\
               $\Leftrightarrow$
               $(P,Q,R$ sind kollinear $\Leftrightarrow \alpha(P), \alpha(Q), \alpha(R)$
               sind kollinear$)$. (1)
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               \bi
                  \item[\glqq$\Rightarrow$\grqq]
                     Sei \abbil{\tilde{\alpha}}{{\cal P}\cup{\cal G}}{{\cal P}\cup{\cal G}}
                     die Fortsetzung von $\alpha$ zu einer Kollineation. Seien
                     ferner $P,Q,R\in {\cal P}$
                     \\
                     Dann gilt: $P,Q,R$ kollinear $\Leftrightarrow$ $R{\cal I}PQ$
                     $\Leftrightarrow$ $\alpha(R)=\tilde{\alpha}(R){\cal I}\tilde{\alpha}(PQ)=
                     \alpha(P)\alpha(Q)$ $\Leftrightarrow$ $\alpha(P),\alpha(Q),\alpha(R)$
                     sind kollinear.
                  \item[\glqq$\Leftarrow$\grqq]
                     Definiere \abbil{\tilde{\alpha}}{{\cal P}\cup{\cal G}}{{\cal P}\cup{\cal G}}
                     durch $\tilde{\alpha}(P) = \alpha(P)$ f\"ur $P\in{\cal P}$
                     und $\tilde{\alpha}(g) = \alpha(P)\alpha(Q)$ f\"ur $g\in{\cal G}$
                     und $P,Q\in (g)$.
                     \\
                     Zeige: $\tilde{\alpha}$ ist wohldefiniert.
                     \\
                     Seien $P', Q'\in (g)$ mit $P'\not= Q'$
                     $\Rightarrow P',Q',P,Q$ sind kollinear
                     \\
                     $\drueber{\Longrightarrow}{(1)} \alpha(P'),\alpha(Q'),
                     \alpha(P),\alpha(Q)$ sind kollinear
                     $\Rightarrow \alpha(P)\alpha(Q)=\alpha(P')\alpha(Q')$.
                     \\
                     Also ist $\tilde{\alpha}$ wohldefiniert.
                     \\
                     Offensichtlich bildet damit $\tilde{\alpha}$
                     Punkte auf Punkte und Geraden auf Geraden ab,
                     und per Voraussetzung ist
                     $\tilde{\alpha}_{\mid_{\cal P}}$ eine Bijektion
                     auf ${\cal P}$.
                     \\
                     Zeige: $\tilde{\alpha}_{\mid_{\cal G}}$ ist injektiv.
                     \\
                     $g\not=h \Rightarrow \exists P\in (g), Q\in (h)$ mit
                     $P\not= g\cap h=: S\not= Q$ und $P,S,Q$ sind nicht
                     kollinear.
                     $\drueber{\Longrightarrow}{(1)} \alpha(P),\alpha(S),\alpha(Q)$
                     sind nicht kollinear
                     $\Rightarrow \tilde{\alpha}(g)=\alpha(P)\alpha(S)\not=
                     \alpha(S)\alpha(Q) = \tilde{\alpha}(h)$.
                     \\
                     Zeige: $\tilde{\alpha}_{\mid_{\cal G}}$ ist surjektiv.
                     \\
                     $g\in {\cal G} \Rightarrow \exists P,Q\in (g)
                     \Rightarrow \alpha^{-1}(P),\alpha^{-1}(Q) \in {\cal P}
                     \Rightarrow \tilde{\alpha}(\alpha^{-1}(P)\alpha^{-1}(Q)) =g$.
                     \\
                     Zeige: $\tilde{\alpha}$ ist mit ${\cal I}$ vertr\"aglich.
                     \\
                     Seien dazu $P\in {\cal P}$ und $g=RS\in {\cal G}$.
                     \\
                     Dann \hspace{-2pt}gilt: \hspace{-2pt}$P{\cal I}g \hspace{-2pt}\Leftrightarrow P,R,S$ sind
                     kollinear \hspace{-1pt}$\drueber{\Longleftrightarrow}{(1)}
                     \alpha(P),\alpha(R),\alpha(S)$ sind \hspace{-1pt}kollinear
                     $\Leftrightarrow \tilde{\alpha}(P){\cal I}\tilde{\alpha}(g).$
               \ei
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               Sei $\PR$ eine projektive Ebene der Ordnung 2 und $Aut(\PR)$
               die Gruppe der Kollineationen von $\PR$.
               \\
               Dann gilt:  $Aut(\PR) \cong GL(3,2)$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Sei $V=GF(2)^3$, dann ist $\PR(V)$ nach 1 a. eine projektive
               Ebene der Ordnung zwei und nach Aufgabe 2 b. von Blatt 1
               bis auf Isomorphie die einzige solche Ebene (mit 7 Punkten),
               also o.B.d.A. $\PR=\PR(V)$.
               \\
               Definiere: \abbil{\varphi}{GL(3,2)}{Aut(\PR)}
               durch $\alpha \mapsto \bar{\alpha}$ mit
               $\bar{\alpha}(\langle v\rangle) =\langle \alpha(v)\rangle$
               f\"ur $v\in V\backslash\{0\}$.
               \\
               Beachte: wir haben $\bar{\alpha}$ nur auf der Punktmenge von
               $\PR$ definiert, aber gem\"a{\ss} a. l\"AYt sich $\bar{\alpha}$ eindeutig
               zu einer Kollineation von $\PR$ fortsetzen.
               \\
               Zeige: $\varphi$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
               \\
               Klar: $\alpha\circ\beta \mapsto  \bar{\alpha}\circ\bar{\beta}$.
               \\
               Zeige: $\varphi$ ist injektiv.
               \\
               $\alpha\in Kern(\varphi) \Leftrightarrow \langle v\rangle =
                \bar{\alpha}\langle v\rangle=\langle\alpha v\rangle
                \;\forall v\in V\backslash\{0\}
                \Leftrightarrow \alpha(v) = v 
                \;\forall v\in V\backslash \{0\}$
               (Beachte: $\langle v\rangle = \{0,v\}$)
               $\Leftrightarrow \alpha = id_{\mid V}$
               \\
               Also gilt: $GL(3,2) \cong Bild(\varphi) \leq Aut(\PR)$.
               \\
               Zeige noch: $\mid GL(3,2) \mid = \mid Aut(\PR) \mid$.
               \\
               Es gilt: $\mid GL(3,2) \mid = (2^3-2^0)(2^3-2^1)(2^3-2^2) =168$.
               \\
               Ferner sieht man mit a. leicht, da{\ss} ein Element von $Aut(\PR)$
               durch das Bild der Basis $\langle (1,0,0)\rangle,
               \langle (0,1,0)\rangle,\langle (0,0,1)\rangle$ von $\PR$
               festgelegt wird.
               \\
               F\"ur $\langle (1,0,0)\rangle$ gibt es also 7 m\"ogliche Bilder,
               f\"ur $\langle (0,1,0)\rangle$ noch 6 und da das Bild von
               $\langle (0,0,1)\rangle$ nicht auf der Geraden durch die
               Bilder von $\langle (1,0,0)\rangle$ und
               $\langle (0,1,0)\rangle$ liegen darf, bleiben noch 4
               m\"ogliche Bilder.
               \\
               Also: $\mid Aut(\PR)\mid \leq 7\cdot 6 \cdot 4 = 168$.
               \\
               Damit: $\mid GL(3,2) \mid = \mid Aut(\PR) \mid$
               und folglich $GL(3,2) \cong Aut(\PR)$.
               \\
            \end{beweis}
      \ee
   \end{aufgabe}

\end{document}

