\documentstyle[theorem,12pt,german]{article}

% Diese Seitenformatierungen sind zu benutzen, wenn ein Ausdruck %
% auf dem Star LC 24-10 mittels automatischem Einzelblatteinzug  %
% erw\"unscht ist. %
%\topmargin-10mm
%\textheight23cm
%\oddsidemargin0mm
%\evensidemargin-4.5mm
%\textwidth15.5cm

% Seitenformatierung fuer den Laserdrucker ohne a4.sty
\textwidth15.5cm
\textheight23cm
\hoffset-1.5cm
\voffset-2cm




% Zu verwendende Regelsaetze
\theoremstyle{break}
\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{defn}{Definition}
\newtheorem{defthm}[defn]{Definition and Theorem}
\newtheorem{construction}{Construction}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
 \newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{remark}{Remark}


% Umgebung fuer Voraussetzungen
 \newenvironment{beh}{{\rm \bf Beh.:} \it}{}
 \newenvironment{beweis}{\rm {\bf Beweis:}}{\hspace*{\fill}\mbox{$ ^{\Box}$}}


% Abkuerzungen
\newcommand{\be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ee}{\end{enumerate}}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.}
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\newcommand{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ei}{\end{itemize}}

% Abblidungen  1: Abbildung                        2: Inklusion
%              3: Abbildung (Name \"uber dem Pfeil)  4: Inklusion (Name \"Uber dem Pfeil)
%              4: Einschraenkung (ohne Definitions- & Wertebereich
%              5: Einschraenkung (mit  Definitions- & Wertebereich
\newcommand{\abbil}[3]{\mbox{$#1 : #2 \rightarrow #3$}}
\newcommand{\einbet}[3]{\mbox{$#1 : #2 \hookrightarrow #3$}}
\newcommand{\abbild}[3]{\mbox{$#2 \stackrel{#1}{\longrightarrow} #3$}}
\newcommand{\einbett}[3]{\mbox{$#2 \stackrel{#1}{\hookrightarrow} #3$}}
\newcommand{\einschr}[2]{\mbox{$#1_{\mid #2}$}}
\newcommand{\einschra}[4]{\abbil{\einschr{#1}{#2}}{#3}{#4}}

% Zeichen fuer Zahlsysteme  N, Z, Q, R, C, C (verkleinert) und C^n x C^k
\newcommand{\N}{{\rm I\hspace{-3pt} N}}
\newcommand{\Z}{{\bf Z}}
\newcommand{\Q}{\mbox{\rm Q\hspace{-6pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{7pt} \hspace{3pt}}}
 \newcommand{\R}{{\rm I\hspace{-3pt} R}}
\newcommand{\C}{\mbox{\rm C\hspace{-5.5pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{6.8pt} \hspace{3pt}}}
\newcommand{\kleinC}{\mbox{\scriptsize \rm C\hspace{-4pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{4.5pt}\hspace{2pt}}}
 \newcommand{\NI}{\mbox{$\cal I \hspace{-0.25cm}-$}}
 \newcommand{\I}{\mbox{$\cal I$}}
 \newcommand{\PR}{{\rm I\hspace{-3pt} P}}
 \newcommand{\hyp}{{\rm I\hspace{-3pt} H}}


% Bilder und Urbilder von einzelnen Punkten
\newcommand{\bild}[2]{\mbox{$#1 \mbox{$\scriptstyle (#2)$}$}}
\newcommand{\urbild}[2]{\mbox{$#1^{-1} \mbox{$\scriptstyle (#2)$}$}}

% Vektoren und endliche Punktmengen
\newcommand{\klam}[1]{\mbox{$\left(#1\right)$}}
\newcommand{\punkt}[2]{\mbox{$\left(#1,#2\right)$}}
\newcommand{\punktmengeA}[3]{\mbox{$\left\{#1_#2,\ldots,#1_#3\right\}$}}
\newcommand{\punktmengeB}[4]{\mbox{$\left\{\punkt{#1_#3}{#2},\ldots,\punkt{#1_#4}{#2}\right\}$}}
\newcommand{\punktmengeC}[4]{\mbox{$\left\{\punkt{#1}{#2_#3},\ldots,\punkt{#1}{#2_#4}\right\}$}}
\newcommand{\vect}[3]{\mbox{$\left(#1_#2,\ldots,#1_#3\right)$}}
\newcommand{\menge}[1]{\mbox{$\left\{#1\right\}$}}

\newcommand{\ueber}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}}
\newcommand{\drueber}[2]{\mbox{$#1^{^{\mbox{\hspace{-15pt}\tiny #2}}}\hspace{15pt}$}}



\begin{document}

   \begin{center}
      \large \bf
      \"Ubungen zur Geometrie I im SS 95, Blatt 4
   \end{center}
   \setcounter{aufgabe}{0}
   \begin{aufgabe}
      \be
         \item[b.]
            \begin{beh}
               Sei $V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $d\geq 2$. Sei ferner
               ${\cal G}$ die Menge der affinen Geraden von $V$, d.h.
               ${\cal G}:= \{v+U\mid v\in V, U\leq V, \dim (U) = 1\}$.
               \\
               Dann ist ${\cal A} =(V,{\cal G},\in)$ ein $d$-dimensionaler affiner
               Raum.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Beachte: f\"ur $d=2$ ist die Behauptung in Teil a. bewiesen
               worden. Also: o.B.d.A: $d>2$.
               \\
               \underline{Ziel:} Definiere einen $d$-dimensionalen projektiven
               Raum $\PR$ mit Hyperebene $\hyp$, so da{\ss} $A(V)=\PR\backslash\hyp$.
               \\
               \underline{1. Schritt:} Definiere einen Parallelismus auf $\cal G$:
               \\
               Seien $u+U,u'+U'\in {\cal G}$.
               \[
                  u+U \parallel u'+U' :\Leftrightarrow U=U'
               \]
               Klar: $\parallel$ ist eine \"Aquivalenzrelation, da \glqq =\grqq
               eine \"Aquivalenzrelation ist.
               \\
               Klar: f\"ur $u+U\in {\cal G}$ und $u'\in V$ ist $u'+U$ die
               eindeutig bestimmte Parallele zu $u+U$ durch $u'$.
               \\
               \underline{2. Schritt:} Definiere die Punktmenge der unendlich fernen
               Hyperebene $\hyp$:
               \\
               $V':=\{[v]\mid 0\not=v\in V, [.]\hat{=} \mbox{\"Aquivaqlenzklasse von}
               \langle v\rangle \mbox{bez.} \parallel\}$
               \\
               d.h. die $[v]$ sind Parallelenscharen von Geraden.
               \\
               \underline{3. Schritt:} Definiere die Geradenmenge der
               unendlich fernen Hyperebene:
               \\
               ${\cal G}':=\{\langle v,w\rangle\mid 0\not=v,w\in V, v\not=w\}
               =\{\langle v,w\rangle\mid [v],[w]\in V',[v]\not= [w]\}$
               \\
               d.h. die Gerade durch $[v]$ und $[w]$ in ${\cal G}'$
               ist die Ebene durch den Ursprung, die von den Geraden
               $\langle v\rangle $ und $\langle w\rangle $ in $V$ aufgespannt
               wird.
               \\
               \underline{4. Schritt:} Definiere die Inzidenzrelation f\"ur
               Punkte in $V\cup V'$ und die Geraden in ${\cal G}\cup{\cal G}'$:
               \\
               \[
                  \begin{array}{ll@{ : }ccl}
                     v\in V,    & g=u+U\in {\cal G} & v{\cal I} g & \Leftrightarrow & v\in u+U \\
                     v\in V,    & g\in {\cal G}'    & v\NI g      &                 &          \\
                     {[v]}\in V,  & g=u+U\in {\cal G} & v{\cal I} g & \Leftrightarrow & \langle v\rangle = U; \mbox{d.h. } \langle v\rangle \parallel g\\
                     {[v]}\in V,  & g=\langle u,w\rangle\in {\cal G}' & v{\cal I} g & \Leftrightarrow & v\in\langle u,w\rangle
                  \end{array}
               \]
               \underline{5. Schritt:} Zeige: $\PR_V=(V'':=V\cup V',{\cal G}'':={\cal G}\cup{\cal G}',\I)$ ist ein projektiver Raum:
               \\
               Es ist klar, da{\ss} $\PR_V$ eine Inzidenzstruktur ist. Es bleiben
               also nur noch die Axiome (A1)-(A4) zu pr\"ufen.
               \\
               \underline{(A1):} Seien $P,Q\in V''$, $P\not=Q$.
               \\
               Falls: $P=v\in V, Q = w\in V \Rightarrow P,Q\I g:=v+\langle w-v\rangle\in
                 {\cal G}\subset{\cal G}''$.
               \\
               Falls: $P=v\in V, Q = [w]\in V' \Rightarrow P,Q\I g:=v+\langle w\rangle\in
                 {\cal G}\subset{\cal G}''$.
               \\
               Falls: $P=[v]\in V', Q = [w]\in V' \Rightarrow P,Q\I g:=\langle v,w\rangle\in
                 {\cal G}'\subset{\cal G}''$.
               \\
               Von der Eindeutigkeit \"uberzeugt man sich in der gleichen Weise
               wie in Teil a.
               \\
               \underline{(A2):} Veblen-Young-Axiom:
               \\
               Vor\"uberlegung: F\"Ur $v_0\in V$ fest ist die Verschiebung:
               \[
                  \alpha_{v_0}:V\rightarrow V:v\mapsto v+v_0
               \]
               eine Bijektion, die durch
               \[
                  \alpha_{v_0}:{\cal G}\rightarrow {\cal G}:v+U\mapsto (v+v_0)+U
               \]
               zu einer Kollineation von $A(V)$ wird.
               \\
               Definieren wir nun:
               \[
                  \alpha_{v_0}:V'\rightarrow V':[v]\mapsto [v]
               \]
               \[
                 \alpha_{v_0}:{\cal G}'\rightarrow {\cal G}':\langle v,w\rangle\mapsto \langle v,w\rangle,
               \]
               dann wird $\alpha_{v_0}$ damit offenbar zu einem Isomorphismus
               der Inzidenzstruktur $\PR_V$.
               \\
               Jetzt k\"onnen wir an den Nachweis von (A2) gehen.
               \\
               Seien dazu $A, B, C, D\in V''$ paarweise verschieden mit $AB\cap CD=Z\in V''$.
               \\
               Zeige: Diese Punkte gen\"ugen dem Axiom von Veblen-Young.
               \\
               1. Fall: $AB = u + \langle u'\rangle, CD = v + \langle v'\rangle \in {\cal G}$
               \& $AB \parallel CD$.
               \\
               $\Rightarrow A, B, C, D\in u+\langle u',u-v\rangle =: U$
               \\
               Dabei gilt $U\leq V$ und $\dim(U)=2$.
               \\
               Damit spielt sich alles in $\alpha_u(\PR_U)$ ab.
               \\
               In $\PR_U$ gilt Veblen-Young aber nach Teil a., also gilt
               Veblen-Young auch in $\alpha_u(\PR_U)$.
               \\
               2. Fall: $AB = u + \langle u'\rangle\in {\cal G}, CD = \langle v,w\rangle \in {\cal G}'$
               \\
               ${\drueber{\Longrightarrow}{4.}} u'\in\langle v,w\rangle =:U\leq V \mbox{ mit } \dim(U)=2$.
               \\
               Damit spielt sich wieder alles in $\alpha_u(\PR _U)$ ab.
               \\
               In $\PR_U$ gilt Veblen-Young aber nach Teil a., also gilt
               Veblen-Young auch in $\alpha_u(\PR _U)$.
               \\
               3. Fall: $AB = \langle v,w\rangle, CD = \langle v',w'\rangle \in {\cal G}'$
               \\
               o.B.d.A. $A=[v],B=[w],C=[v'],D=[w']$ $\Rightarrow AC =\langle
               v,v'\rangle, BD=\langle w,w'\rangle$.
               \\
               Dann gilt:
               \[
                 \dim(AC\cap BD) = \dim(AC) +dim(BD) - \dim\langle v,v',w,w'\rangle
               \]
               \[
                  =\dim(AC)+\dim(BD)-(\dim(AB) +\dim(CD)-\dim(AB\cap CD))
               \]
               \[
                  =2+2-(2+2-1)=1
               \]
               Also: $\exists u\in V: AC\cap BD=[u] \Rightarrow$ Veblen-Young.
               \\
               \underline{(A3):} Sei $g\in {\cal G}''$ beliebig.
               \\
               Falls $g=u+\langle u'\rangle\in {\cal G} \Rightarrow u, u+u', [u']\I g$ und
               sie sind paarweise verschieden.
               \\
               Falls $g=\langle u,v\rangle\in {\cal G}'\Rightarrow
               [u],[v],[u+v]\I g$ und sind paarweise verschieden, da die
               Vektoren $u, v$ und $u+v$ linear unabh\"angig voneinander sind
               (vgl. den Nachweis von (A3) in Teil a.
               \\
               \underline{(A4):} Seien $0\not=u,v\in V$ mit $u\not= v$ (beachte: $\dim(V)\geq 2$).
               \\
               $\Rightarrow \langle u\rangle, \langle v\rangle \in {\cal G}\subset{\cal G}''$
               und $\langle u\rangle\not= \langle v\rangle$.
               \\
               \underline{6. Schritt:}Zeige: $\dim(\PR_V)=d$.
               \\
               Sei $\hyp := \langle [v] \mid [v]\in V'\rangle=(V',{\cal G}',\I) \leq \PR_V$.
               \\
               Klar: $\hyp \cong \PR(V) \Rightarrow \dim(\hyp)=d-1 \Rightarrow \dim(\PR_V)\geq d$.
               \\
               Sei nun $v\in V$ gegeben.
               \\
               Zeige: $\langle \hyp,v\rangle = \PR_V$, (dann gilt: $\dim(\PR_V)\leq d$).
               \\
               Klar: \glqq $\leq$\grqq gilt und ferner: $V'\subset \langle \hyp,v\rangle$
               sowie $v\in \langle \hyp,v\rangle$.
               \\
               Sei also $v\not= u\in V$ gegeben.
               \\
               Setze: $U:=\langle v-u\rangle \Rightarrow
               u=u+(v-u)\in u+U=(uv)=(vU)\subset \langle \hyp,v\rangle$.
               \\
               Also gilt: ${\cal P}\subset{\cal P}_{\langle \hyp,v\rangle}$.
               \\
               Damit gilt aber: $\PR_V \leq \langle \hyp,v\rangle$.
               \\
               \underline{7. Schritt:} Klar: $A(V) = \PR_V\backslash \hyp$.
               \\
            \end{beweis}
      \ee
   \end{aufgabe}

   \begin{aufgabe}
      Sei ${\cal A}$ ein affiner Raum der Dimension $d$ und
      $\PR=({\cal P},{\cal G},{\cal I})$ der zu ${\cal A}$
      geh\"orige projektive Raum, d.h. es gibt eine Hyperebene
      $\hyp \leq \PR$ mit ${\cal A} = \PR\backslash\hyp$.
      \\
      \be
         \item
            \begin{beh}
              F\"ur $2\leq t\leq d$ ist jeder $t$-dimensionale Unterraum von
              ${\cal A}$ ein affiner Raum der Dimension $t$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Sei $U \leq {\cal A}$ mit $\dim(U)=t$. Dann ist $U$ per
               Definition auch ein $t$-dimensionaler Unterraum von $\PR$,
               wobei f\"ur die Punktmenge ${\cal P}^a_U$ von $U$ als
               Unterraum von ${\cal A}$ gilt, da{\ss} man sie aus der
               Punktmenge ${\cal P}_U$ von $U$ als Unterraum von $\PR$
               folgenderma{\ss}en erh\"alt:
               \[
                  {\cal P}^a_U = {\cal P}_U \backslash {\cal P}_{\hyp}
               \]
               Analog erh\"alt man die Geraden von $U$ als Unterraum von ${\cal A}$.
               \\
               Insgesamt erhalten wir also: \glqq $U = U \backslash (U\cap\hyp)$\grqq.
               \\
               Da $U\cap\hyp$ eine Hyperebene von $U$ in $\PR$ ist, ist somit
               $U$ ein affiner Raum der Dimension $t$.
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               F\"ur $U,V \leq {\cal A}$ sei $\langle U,V\rangle = \ueber{\bigcap}{\mbox{\tiny $U,V\subset W\leq {\cal A}$}} W$.
               \\
               Dann gilt: $\dim \langle U,V\rangle = \dim(U) + \dim(V) - \dim(U\cap V)$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Per Definition sind $U$ und $V$ auch Unterr\"aume von $\PR$ und
               die Unter\-r\"au\-me von $\cal A$, die $U$ und $V$ enthalten, sind
               genau die Unterr\"aume von $\PR$, die $U$ und $V$ enthalten,
               so da{\ss} $\langle U,V\rangle$ in $\cal A$ und $\PR$ \"ubereinstimmen.
               \\
               Mithin \"ubertr\"agt sich die Dimensionsformel von $\PR$ unmittelbar
               auf $\cal A$.
               \\
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               Sei $\cal A$ ein affiner Raum der Ordnung $q$.
               \\
               Dann gehen durch jeden Punkt von $\cal A$ genau $\frac{q^d-1}{q-1}$
               Geraden.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Sei $P$ ein Punkt von $\cal A$. Dann gilt: $P\in {\cal P}\backslash {\cal P}_{\hyp}$
               und die Geraden durch $P$ in $\cal A$ sind genau die Geraden durch $P$ in $\PR$.
               \\
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               Sei $\cal A$ ein affiner Raum der Ordnung $q$.
               \\
               Dann gilt: $\mid U_t({\cal A})\mid = (q^t+\cdots +q^{d-t})\frac{\theta_{d-1}\cdots\theta_{d-t}}{\theta_1\cdots\theta_t}
               = (q^d-q^{d-t})\frac{(q^d-1)\cdots(q^{d+1-t}-1)}{(q-1)\cdots (q^{t+1}-1)}$.
               \\
               Wobei: $\theta_r:=q^r+q^{r-1}+\cdots+1$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Per Definition gilt: $U_t({\cal A}) = U_t(\PR)\backslash U_t(\hyp)$.
               \\
               Damit folgen die beiden Formeln unmittelbar aus Aufgabe 2 auf
               Blatt 3, je nachdem, welche Version der dortigen Formel man
               bevorzugt.
               \\
            \end{beweis}
      \ee
   \end{aufgabe}

\end{document}

