\documentstyle[theorem,12pt,german]{article}

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% Zu verwendende Regelsaetze
\theoremstyle{break}
\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{defn}{Definition}
\newtheorem{defthm}[defn]{Definition and Theorem}
\newtheorem{construction}{Construction}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
 \newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
\theoremstyle{plain}
\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\rm}
\newtheorem{remark}{Remark}


% Umgebung fuer Voraussetzungen
 \newenvironment{beh}{{\rm \bf Beh.:} \it}{}
 \newenvironment{beweis}{\rm {\bf Beweis:}}{\hspace*{\fill}\mbox{$ ^{\Box}$}}


% Abkuerzungen
\newcommand{\be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\ee}{\end{enumerate}}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi}.}
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\newcommand{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\ei}{\end{itemize}}

% Abblidungen  1: Abbildung                        2: Inklusion
%              3: Abbildung (Name \"uber dem Pfeil)  4: Inklusion (Name \"Uber dem Pfeil)
%              4: Einschraenkung (ohne Definitions- & Wertebereich
%              5: Einschraenkung (mit  Definitions- & Wertebereich
\newcommand{\abbil}[3]{\mbox{$#1 : #2 \rightarrow #3$}}
\newcommand{\einbet}[3]{\mbox{$#1 : #2 \hookrightarrow #3$}}
\newcommand{\abbild}[3]{\mbox{$#2 \stackrel{#1}{\longrightarrow} #3$}}
\newcommand{\einbett}[3]{\mbox{$#2 \stackrel{#1}{\hookrightarrow} #3$}}
\newcommand{\einschr}[2]{\mbox{$#1_{\mid #2}$}}
\newcommand{\einschra}[4]{\abbil{\einschr{#1}{#2}}{#3}{#4}}

% Zeichen fuer Zahlsysteme  N, Z, Q, R, C, C (verkleinert) und C^n x C^k
\newcommand{\N}{{\rm I\hspace{-3pt} N}}
\newcommand{\Z}{{\bf Z}}
\newcommand{\Q}{\mbox{\rm Q\hspace{-6pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{7pt} \hspace{3pt}}}
 \newcommand{\R}{{\rm I\hspace{-3pt} R}}
\newcommand{\C}{\mbox{\rm C\hspace{-5.5pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{6.8pt} \hspace{3pt}}}
\newcommand{\kleinC}{\mbox{\scriptsize \rm C\hspace{-4pt}\rule[0.5pt]{0.5pt}{4.5pt}\hspace{2pt}}}
 \newcommand{\NI}{\mbox{$\cal I \hspace{-0.25cm}-$}}
 \newcommand{\I}{\mbox{$\cal I$}}
 \newcommand{\PR}{{\rm I\hspace{-3pt} P}}
 \newcommand{\hyp}{{\rm I\hspace{-3pt} H}}


% Bilder und Urbilder von einzelnen Punkten
\newcommand{\bild}[2]{\mbox{$#1 \mbox{$\scriptstyle (#2)$}$}}
\newcommand{\urbild}[2]{\mbox{$#1^{-1} \mbox{$\scriptstyle (#2)$}$}}

% Vektoren und endliche Punktmengen
\newcommand{\klam}[1]{\mbox{$\left(#1\right)$}}
\newcommand{\punkt}[2]{\mbox{$\left(#1,#2\right)$}}
\newcommand{\punktmengeA}[3]{\mbox{$\left\{#1_#2,\ldots,#1_#3\right\}$}}
\newcommand{\punktmengeB}[4]{\mbox{$\left\{\punkt{#1_#3}{#2},\ldots,\punkt{#1_#4}{#2}\right\}$}}
\newcommand{\punktmengeC}[4]{\mbox{$\left\{\punkt{#1}{#2_#3},\ldots,\punkt{#1}{#2_#4}\right\}$}}
\newcommand{\vect}[3]{\mbox{$\left(#1_#2,\ldots,#1_#3\right)$}}
\newcommand{\menge}[1]{\mbox{$\left\{#1\right\}$}}

\newcommand{\ueber}[2]{\begin{array}{c} #1 \\ #2 \end{array}}
\newcommand{\drueber}[2]{\mbox{$#1^{^{\mbox{\hspace{-15pt}\tiny #2}}}\hspace{15pt}$}}



\begin{document}

   \begin{center}
      \large \bf
      \"Ubungen zur Geometrie I im SS 95, Blatt 8
   \end{center}
   \setcounter{aufgabe}{1}

   \begin{aufgabe}
      Sei $\PR=({\cal P},{\cal G},{\cal I})$ ein projektiver Raum, $\hyp \leq \PR$ eine Hyperebene und $Q\in \hyp$.
      \be
         \item
            \begin{beh}
               Die Zentralkollineationen von ${\cal Z}(\hyp,\PR)$ induzieren
               Zentralkollineationen von ${\cal Z}(\hyp/Q,\PR/Q)$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Sei $\alpha \in {\cal Z}(\hyp,\PR)$ gegeben.
               \bi
                  \item Definere \abbil{\alpha^*}{\PR/Q}{\PR/Q}:
                     \\
                     Sei $g$ ein Punkt von $\PR/Q$, d.h. $g\in {\cal G}$ mit
                     $Q\in (g)$.
                     \\
                     Setze: $\alpha^*(g) := \alpha (g)$.
                     \\
                     Sei $G$ eine Gerade aus $\PR/Q$, d.h. $G = \langle T,R,Q\rangle$
                     mit $T,R,Q\in {\cal P}$ nicht kollinear.
                     \\
                     Setze: $\alpha^*(G) := \langle \alpha(T),\alpha(R),\alpha(Q)=Q\rangle$.
                     \\
                     Dann ist $\alpha^*$ offensichtlich eine Kollineation von $\PR/Q$.
                  \item Zeige: $\alpha^*$ ist eine Zentrallkollineation.
                     \\
                     Sei dazu $Z$ das Zentrum von $\alpha$.
                     \\
                     \underline{1. Fall:} $Z=Q \Rightarrow \alpha$ l\"a{\ss}t die
                     Geraden von $\PR$ durch $Q$ fest, d.h. $\alpha^* = id_{\PR/Q}$.
                     \\
                     \underline{2. Fall:} $Z\not= Q$.
                     \\
                     $ZQ$ ist Fixgerade von $\alpha$, also Fixpunkt von $\alpha^*$.
                     \\
                     $\hyp$ bleibt punktweise fest unter $\alpha$, also sind
                     die Geraden in $\hyp$ durch $Q$ erst recht Fixgeraden,
                     d.h. $\hyp/Q$ bleibt punktweise fest unter $\alpha^*$.
                     \\
                     Sei ferner $G=\langle T, Z, Q\rangle$ eine Gerade in
                     $\PR/Q$.
                     \\
                     Dann gilt: $\alpha^*(G) = \langle \alpha(T),
                     \alpha(Z)=Z,\alpha(Q)=Q\rangle$. Da $\alpha$ eine
                     Zentral\-kol\-linea\-tion ist, ist $TZ$ eine Fixgerade,
                     d.h. $\alpha(T)\in (TZ)$.
                     \\
                     Damit gilt $\alpha^*(G) = \langle T,Z,Q\rangle = G$,
                     d.h. die Geraden durch $ZQ$ bleiben fest.
                     \\
                     Also ist $\alpha^*$ eine Zentralkollineation von
                     $\PR/Q$ mit Zentrum $ZQ$ und Achse $\hyp/Q$.
               \ei
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               Ist $\PR$ desarguesch und $\beta\in {\cal Z}(\hyp/Q,\PR/Q)$,
               so gibt es ein $\alpha\in{\cal Z}(\hyp,\PR)$ mit
               $\alpha^* = \beta$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Sei also $\beta\in {\cal Z}(\hyp/Q,\PR/Q)$ mit Zentrum $g\in {\cal G}$.
               \\
               \underline{o.B.d.A.:} $\beta \not= id_{\PR/Q}$, sonst $\beta = id^*$.
               \\
               Sei ferner $h$ ein Punkt von $\PR/Q$ au{\ss}erhalb von $\hyp/Q$ und
               $h\not= g$.
               \\
               Dann ist $\beta$ eindeutig festgelegt durch $h':=\beta(h) \not= h$.
               \\
               Ferner gilt, da{\ss} die Punkte in $\PR/Q$ $h$, $g$ und $h'$ auf einer
               Geraden von $\PR/Q$, sprich in einer Ebene liegen.
               \\
               W\"ahle $Z\in (g)$ und $P\in (h)$ mit $Z\not= Q\not= P$.
               \\
               Setze nun $Z':= h'\cap ZP$.
               \\
               Dann gilt: $P,P'\notin {\cal P}(\hyp)\cup \{Z\}$
               \\
               Baer $\Longrightarrow \exists \alpha$ Zentralkollineation mit Achse $\hyp$,
               Zentrum $Z$ \& $\alpha(P) = P'$.
               \\
               Zeige: $\alpha^* = \beta$.
               \\
               Da $Z\not= Q$, folgt mit Teil a., da{\ss} $\alpha^*$ eine Zentralkollineation
               von $\PR/Q$. Ferner gilt $\alpha^*(g)= \alpha(g) = \alpha(PQ)
               = \alpha(P)\alpha(Q)= \alpha(P)Q=P'Q=h'=\beta(g)$.
               \\
               Wegen der Eindeutigkeit der Fortsetzung nach Baer gilt $\alpha^* = \beta$.
               \\
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               $Kern(\varphi:{\cal Z}(\hyp,\PR)\longrightarrow {\cal Z}(\hyp/Q,\PR/Q)) =
               {\cal Z}(\hyp,Q)$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               $\alpha\in Kern{\varphi} \Leftrightarrow$ Die Geraden durch $Q$
               sind Fixgeraden. $\Leftrightarrow \alpha \in {\cal Z}(\hyp,Q).$
               \\
            \end{beweis}
      \ee
   \end{aufgabe}

   \begin{aufgabe}
      \be
         \item
            \begin{beh}
               Sei $U\leq \PR=PG(d,q)=({\cal P},{\cal G},{\cal I})$ ein $t-$dimensionaler Unterraum, $\hyp\leq\PR$
               eine Hyperebene.
               \\
               Dann gilt: $\mid {\cal Z}(\hyp,U) \mid =
               \left\{ \begin{array}{l} q^{t+1}, \mbox{ falls } U\subseteq\hyp \\
               q^t(q-1), \mbox{ falls } U\not\subseteq\hyp.  \end{array} \right. $
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               $PG(d,q)$ ist desarguesch.
               \be
                  \item $U\subseteq\hyp$:
                     \\
                     W\"ahle $Z\in {\cal P}(U)$ sowie $g\in {\cal G}$ mit
                     $Z{\cal I}g$, aber $(g)\not\subseteq {\cal P}(\hyp)$.
                     (Beachte: $\hyp \cap g = \{ Z\}$.)
                     \\
                     Sei nun $Z\not= P\in (g)$.
                     \\
                     Der Satz von Baer sagt nun, da{\ss} zu jedem Punkt $P\not= P'\not= Z$
                     auf $g$ genau eine Zentralkollineation $\alpha\not= id$
                     geh\"ort, d.h. bei festem Zentrum erhalten wir genau
                     $q-1$ Zentralkollineationen $\not= id$.
                     \\
                     Unterschiedliche Zentren f\"uhren zu unterschiedlichen
                     Zentralkollineationen $\not= id$, und es gibt
                     in $U$ gerade $\frac{q^{t+1}-1}{q-1}$ Punkte (= verschiedene
                     Zentren).
                     \\
                     Somit erhalten wir $\frac{q^{t+1}-1}{q-1}(q-1)$ Zentralkollineationen
                     $\not= id$ mit Zentrum in $U$, also: $\mid {\cal Z}(\hyp,U) \mid = q^{t+1}$.
                  \item $U\not\subseteq\hyp:$
                     \\
                     Es gilt: ${\cal Z}(\hyp,U) = {\cal Z}(\hyp,\hyp\cap U) \cup {\cal Z}(\hyp,U\backslash (\hyp\cap U))$.
                     \\
                     Wie eben gesehen gilt wegen $\dim(\hyp \cap U) = t-1$,
                     $\mid {\cal Z}(\hyp,\hyp\cap U)\mid = q^t$.
                     \\
                     F\"ur $Z\in U\backslash (\hyp \cap U)$ w\"ahle wieder $g\in {\cal G}$ mit
                     $Z{\cal I}g$ und $P\in (g)$ mit $Z\not= P \not= g\cap\hyp$.
                     Damit verbleiben noch $q-2$ Punkte $P'\not\in \{P,Z,g\cap\hyp\}$
                     als Bildpunkte f\"ur $P$ unter einer Zentralkollinea\-tion $\not= id$
                     mit Zentrum $Z$, und gem\"a{\ss} Baer gibt es zu jedem dieser
                     Punkte auch genau eine.
                     \\
                     Da unterschiedliche Zentren wieder zu unterschiedlichen
                     Zentralkollinea\-tio\-nen $\not= id$ f\"uhren, erhalten
                     wir mit $\mid U\backslash (\hyp\cap U)\mid = q^t$
                     also $\mid {\cal Z}(\hyp,U\backslash (\hyp\cap U)) \mid
                     = q^t(q-2)$.
                     \\
                     Insgesamt ergibt sich also: $\mid {\cal Z}(\hyp,U)\mid
                     = q^t +q^t(q-2) = q^t (q-1)$
               \ee
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               Sei $\PR = PG(2,2)$ die projektive Ebene der Ordunung zwei, $\hyp
               \leq \PR$ eine Gerade.
               \\
               Ist $id\not= \alpha \in {\cal Z}(\hyp,\PR)$, so ist $\alpha$ eine
               Translation, die auf $\{P_1,\ldots,P_4\} = \PR\backslash\hyp$
               durch der Permutation der Indizes vermittels
               $\pi = (12)(34)$  operiert,
               wobei $P_1, P_2$ und $Z$ kollinear sind (und damit auch
               $P_3,P_4$ und $Z$ kollinear).
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Ist $\alpha \in {\cal Z}(\hyp,\PR)$ mit Zentrum $Z$ nicht auf
               $\hyp$.
               \\
               Sei $g$ eine beliebige Gerade durch $Z$ in $\PR$. Dann gibt es
               au{\ss}er $Z$ und $g\cap\hyp$ noch genau einen Punkt auf $G$. Da
               $Z$ und $g\cap\hyp$ Fixpunkte von $\alpha$ sind und der
               verbleibende Punkt von $\alpha$ auf einen Punkt von $g$ abgebildet
               wird, ist auch dieser ein Fixpunkt, und mithin $\alpha = id$.
               \\
               Ist also $\alpha \in {\cal Z}(\hyp,\PR)$ nicht die Identit\"at,
               so liegt das Zentrum $Z$ von $\alpha$ auf $\hyp$, also
               ist $\alpha$ eine Transaltion. Seien ferner $P_1,\ldots,P_4$
               wie oben gegeben.
               \\
               Da $\alpha\not= id$, gibt es einen Punkt au{\ss}erhalb von $\hyp$,
               der kein Fixpunkt ist. Sei dies O.B.d.A. $P_1$. Da $\alpha(P_1)$
               auf $ZP_1$ liegt, aber nicht $Z$ und nicht $P_1$ sein kann,
               gilt $\alpha(P_1)=P_2$ und mit dem gleichen Argument $\alpha(P_2) = P_1$.
               \\
               Da $\alpha$ au{\ss}erhalb von $\hyp$ keine Fixpunkte hat, werden
               also auch $P_3$ \& $P_4$ vertauscht.
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               Sei $\alpha \in Aut(AG(2,2))$, dann gibt es ein $\beta \in
               Aut(PG(2,2))$ mit $\beta_{\mid AG(2,2)} = \alpha$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               $AG(2,2)$ ist der volle Graph auf vier Punkten und $Aut(2,2)$
               wird durch die Permutationen der vier Eckpunkte erzeugt (d.h.
               jede solche Permutation l\"a{\ss}t sich eindeutig zu einer Kollineation fortsetzen
               und jede Einschr\"ankung einer Kollineation auf die Punktmenge
               liefert eine solche Permutation - wende die zu Aufgabe 3 b. Blatt 3
               analoge Aussage f\"ur affine R\"aume an).
               \\
               Diese Permutationen respektieren au{\ss}erdem Parallelenscharen
               (beachte, da{\ss} eine Parallelenschar durch Aufteilung der vier
               Punkte in zwei Punktpaare festgelegt wird).
               \\
               Identifizieren wir die Parallelenscharen nun mit den Punkten
               der unendlich fernen Geraden im projektiven Abschlu{\ss} $PG(2,2)$
               von $AG(2,2)$, so ist klar, wie eine Kollineation $\alpha$
               von $AG(2,2)$ auf $PG(2,2)$ fortgesetzt werden kann.
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               $\exists \alpha \in Aut(AG(2,3))$ mit $\not\exists \beta\in
               Aut(PG(2,2))$ mit $\beta_{\mid AG(2,2)}=\alpha$.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               Da jede Gerade von $AG(3,2)$ genau zwei Punkte enth\"alt, ist
               $AG(3,2)$ der volle Graph auf acht Punkten, und wie oben sind
               die Kollineationen durch die Permutationen der Punkte induziert.
               \\
               Also gibt es ein $\alpha\in Aut(AG(3,2))$, das genau zwei Punkte $P$ und $Q$
               vertauscht und alle anderen fest l\"a{\ss}t.
               \\
               Angenommen: $\exists \beta\in Aut(PG(2,2))$ mit $\beta_{\mid AG(2,2)}=\alpha$.
               \\
               Setze: $R:= PQ\cap\hyp_\infty$, d.h. $R$ wird durch die zu $PQ$
               parallelen Geraden gegeben. Letztete sind aber Fixgeraden unter
               $\beta_{\mid}=\alpha$, also ist $R$ ein Fixpunkt von $\beta$.
               \\
               Da es zu jeder Geraden in $AG(3,2)$ (nicht parallel zu $PQ$)
               eine parallele Gerade durch $P$ bzw. $Q$ gibt und letztere
               keine Fixgerade ist ($\alpha(P) = Q$), bleiben keine weiteren
               Parallelenscharen unter $\alpha$ fest, also keine weiteren
               Punkte von $\hyp_\infty$ unter $\beta$.
               \\
               Seien nun $S$ und $T$ zwei Fixpunkte von $AG(3,2)$ so, da{\ss}
               $\{S,T,R\}$ nicht kollinear sind (w\"ahle etwa $ST$ als eine
               zu $PQ$ windschiefe Gerade).
               Dann ist $\langle S,T,R\rangle$ eine Hyperebene, die punktweise
               festbleibt (vgl. Argument unter 3 b., da{\ss} die Identit\"at
               die einzige zentrische Streckung ist).
               \\
               Aber $\hyp_\infty \cap \langle S,T,R\rangle$ enth\"alt damit
               au{\ss}er $R$ noch zwei weitere Fixpunkte.  (Wid.)
               \\
            \end{beweis}
      \ee
   \end{aufgabe}
   \begin{aufgabe}
      Sei $\alpha\in GL(d+1,K)$. Vermittels der Fortsetzung von
      $\tilde{\alpha}:\langle v\rangle \mapsto \langle \alpha(v)\rangle$
      f\"ur $0\not= v\in K^{d+1}$ auf PG(d,K) wird $\tilde{\alpha}$ eine
      Kollineation.
      \be
         \item
            \begin{beh}
                $Kern(\tilde{\cdot}:GL(d+1,K) \rightarrow Aut(PG(d,K))) =
                \{a\cdot id_{K^{d+1}} \mid a\in K\backslash \{0\} \}$
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               $\alpha \in Kern(\tilde{\cdot})$ $\Leftrightarrow$
               Alle eindimensionalen Unterr\"aume von $K^{d+1}$ bleiben
               fest unter $\alpha$. $\Leftrightarrow$ $\alpha = a\cdot id_{K^{d+1}}$
               mit $a\in K\backslash \{0\}$ (siehe LA I).
            \end{beweis}
         \item
            \begin{beh}
               F\"ur $\alpha \in GL(d+1,K)$ gilt: $\tilde{\alpha}$ ist eine
               Zentralkollineation genau dann, wenn $\alpha$ modulo dem
               $Kern(\tilde{\cdot})$ eine Transvektion ist.
            \end{beh}
            \\
            \begin{beweis}
               $\tilde{\alpha}$ ist eine Zentralkollineation
               \\
               $\Leftrightarrow$ $\tilde{\alpha}$ ist axial
               \\
               $\Leftrightarrow$ $\exists \hyp = \langle \langle v_i\rangle\mid
               1\leq i\leq d \rangle \leq PG(d+1,K)$ Hyperebene, die punktweise
               festbleibt.
               \\
               $\Leftrightarrow$ $\exists$ Basis ${\cal B} = (v_1,\ldots,v_{d+1})$
               von $K^{d+1}$ bez\"uglich derer $\alpha$ folgende Form hat:
               \[
                 (\alpha)_{\cal B}=
                 \left(
                    \begin{array}{c|c}
                                   & *      \\
                       a\cdot E_d  & \vdots \\
                                   & *      \\
                       \hline
                          0        & *
                    \end{array}
                 \right)
               \]
               Beachte: $\alpha$ l\"a{\ss}t alle 1-dimensionalen Unterr\"Aume von
               $\langle v_1,\ldots,v_d \rangle$ fest, also ist die Einschr\"ankung
               von $\alpha$ auf dieses Erzeugnis eine Vielfachheit der Identit\"at - siehe
               LA I.
               \\
               $\Leftrightarrow$ $\exists$ Basis $\cal B$ von $K^{d+1}$, $a\in K\backslash \{0\}$
               und $\beta \in GL(d+1,K)$ mit $\alpha = \beta \circ (a\cdot id_{K^{d+1}})$
               und
               \[
                 (\beta)_{\cal B}=
                 \left(
                    \begin{array}{c|c}
                                   & *      \\
                              E_d  & \vdots \\
                                   & *      \\
                       \hline
                          0        & *
                    \end{array}
                 \right)
               \]
               D.h. $\beta$ ist eine Transvektion, d.h. es gibt ein $\varphi \in Hom_K(V,K)$
               und ein $w\in K^{d+1}$ mit $\beta(v) = v+\varphi(v)\cdot w$.
            \end{beweis}
      \ee
   \end{aufgabe}

\end{document}

