\documentclass[a4paper,german]{book}
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[lite]{amsrefs}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{nicefrac,mathtools}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumitem}
\usepackage{microtype}

\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
d . i . die Euler'sche Homogenitäts-Bedingung, also i s t in diesem Fal­ l e L(xx) homogen in x ¿ (12) von der Dimension 1. d.h.

Dann i s t aber auch

L¿=^ 0, die Lagrange'sehe D i f f e r e n t i a l g l e i c h ­

ungen sind linear abhängig, wir haben also nicht genügend (nämlich - 1 ) Differentialgleichungen, u a l l e m Funktionen x ¿ ( t ) festzu­

legen. Der t i e f e r e Grund hierfür i s t , dass in diesem Fall das Varia­ tionsproblem invariant gegen beliebige Parametertransformation Ersetzen wir nämlich t durch <^ ( t ) , dann wird aus ist.

also aus L dt wieder Ldt; d.h. Ldt i s t invariant gegen Parameter­ transformation. Das Integral I hängt nur von der Kurve ab, die im

(R^)durch die

Funktion^x^(t) festgelegt wird, da bei der Darstel­

lung der Kurve in dieser Form der Parameter f r e i i s t . U ihn be­ m stimmt zu machen, wählen wir als Parameter I , also L(xx) = 1. Der vornehmste F a l l eines solchen geometrischen Variationspro­ blems i s t das der geodätischen Linien im Raum beliebiger Krümmung; Bogenelement ¿¿^*=

Kurve x^ = X ¿ ( t ) . F&r die geodätischen Linien i s t dann


\end{document}
