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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}

also
\[
I^{*} = I^{*}(c_1,\ldots,c_m)
\]
ebenfalls von $t_{0}$ unabh\"angig und zwar ist $I^{*}$ eine Funktion von $h$ mit mit dem Differentialquotienten $\frac{\diff I^{*}}{\diff h} = \tau$. Setze ich $I^{*} = f(h)$, so ist $\tau = f'(h)$; $\tau$ ist eine Funktion der Energiekonstanten allein, sodass Bahnen mit gleicher Energiekonstanten dieselbe Periode haben. 

6. Fall der Mechanik mit Kr\"aften proportional einer Potenz der Entfernung. (Untersuchung von Lagrange und Jacobi.)

Die Fundamental-Differentialrelation f\"urt f\"ur einen spziellen Fall der Mechanik zu einem sch\"onen Ergebnis Jacobi's. 

Wir nehmen an 
\begin{itemize}
\item[I.] $T = T(\dot x)$, sodass also $g_{\alpha\beta}$ konstant sind und
\item[II.] $U(x)$ sei homogen von der $p$ten Dimension.
\end{itemize}
Dieser Fall stellt sich immer ein f\"ur Massenpunkte, die proprotional einer Potenz der Entfernung sich anziehen. Sind z.B. $N$ Massenpunkte mit den Koordinaten $x_1,x_2,x_3;x_4,x_5,x_6\ldots x_{3n-2},x_{3n-1},x_{3n}$ gegeben, wo $3n = N$ ist,
\begin{gather*}
m_1=m_2=m_2=m_I\\
\cdots\cdots\\
m_{3n-2}=m_{3n-1}=m_{3n}=m_N
\end{gather*}
dann ist
\[
I_{\alpha}=m_{\alpha}{\dot{x}}_{\alpha};\qquad T(\dot x)=\frac{1}{2}\sum m_{\alpha}{\dot x}^2_{\alpha}
\]
Setze $U(x)=\kappa \sum m_hm_kR^p_{hk}$ 
\end{document}
