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%dazu noch
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}

\section*{}
wo $(h,k = 1 \dots N)$ Summenindizes der Massenpunkte, 
nicht der durchlaufend numerierten Koordinaten sind; $R_{hk}$
die Entfernung der Punkte $P_h$ und $P_k$. \\
 \[
    \xymatrix{&P_k\\P_h\ar@{-}[ru]^{R_{hk}}&\{x_{3h-2}, x_{3h-1}, x_{3h}\}  } 
 \] 
\bigbreak
\noindent
Da die Kraft $\nicefrac{\partial U}{\partial R}$, so ist sie also
proportional $R^{p-1}$, z.B. bei der Newton'schen Anziehung,
wo $p = -1$, ist: $\dot{R}^{-2}$.
Im allgemeinen Fall ist: \[
  {y}_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\alpha}}~
  =~\frac{\partial (T + U)}{\partial \dot{x}_{\alpha}}~
  =~\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{\alpha}}~
  =~g_{\alpha\beta}\dot{x}_{\beta} \]
\noindent da $\nicefrac{\partial U}{\partial \dot{x}_{\alpha}}~=~0$,
weil $\dot{x}_{\alpha}$ in $U$ nicht vorkommt.
\[ L_{\alpha}~\equiv~\frac{\diff y_{\alpha}}{\diff t}~-~
\frac{\partial U}{\partial x_{\alpha}},\qquad \textup{da}\quad
\frac{\partial T}{\partial x_{\alpha}}~=~0. \]
\[
\frac{\diff(xy)}{\diff t}~=~(\dot{x}y)+(x\dot{y})~=~\dot{x}_{\alpha}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{\alpha}}~+~
x_{\alpha}\frac{\partial U}{\partial x_{\alpha}}
\]
Der letzte Term folgt aus $L_{\alpha}~=~0$\,:
\[ \frac{\partial y_{\alpha}}{\partial t}~=~\frac{\partial U}{\partial x_{\alpha}}\quad, \qquad
\textup{also} \quad (x\dot{y})~=~x_{\alpha}\frac{\partial U}{\partial x_{\alpha}}
\]
Da T homogen in $\dot{x}_{\alpha}$ von $2.$ Dimension, $U$ homogen in $x_{\alpha}$ von $p$\,-ter Dimension, so ist \[ \dot{x}_{\alpha}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{\alpha}}~=~ 2\,T \]




\end{document}

