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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
Damit ist eine Reihe von Differentialquotienten nach den Konstanten und nach $t$ gegeben. Gleichzeitig ist eine Integralinvariante der L\"osungsschar der Lagrange Differentialgleichungen gewonnen. Denn trennen wir die Gleichung folgendermassen

\begin{center}
$p(y\,\textup{d}x)-2(x\,\textup{d}y)-2ph\,\textup{d}t-(p-2)t\,\textup{d}h = \Lambda(\,\textup{d}x_0, \,\textup{d}y_0, \,\textup{d}h, \,\textup{d}t^0)$
\\
\end{center}
so muss die rechte Seite sich auf die Form bringen lassen:
\begin{center}
$\Lambda = C_i\,\textup{d}c_i$
\end{center}
Denn zun\"achst kann die rechte Seite $\textup{d}t_0$ nicht enthalten, da die linke Seite von $\textup{d}t_0$ unabh\"angig ist. Aus demselben Grunde k\"onnen die Koeffizienten von $\textup{d}c_i$ weder $t$ noch $t_0$ enthalten; sodass

\begin{center}
$C_i = C_i(c_1, \dots, c_m)$.
\end{center}
Links m\"ussen alle Differentialquotienten nach $t$ verschwinden und die Differentialquotienten nach $c_i$ m\"ussen $C_i$ sein, also
\begin{center}
$py_2\frac{\partial x_2}{\partial c_i}-2x_2\frac{\partial y_2}{\partial c_i} - pt \frac{\partial h}{\partial c_i} = C_i(c_i,\dots ,c_m)$
\end{center}
Hiermit haben wir das erste Beispiel einer Integralinvariante gewonnen.

\section{Anwendung auf eine Schar periodischer L\"osungen.} 
Nehmen wir jetzt wieder an, unsere L\"osungsschar habe die Periode 
$\tau = \tau(c_1,\dots ,c_m)$ so ist f\"ur $t = t_0 + \tau : (xg) = (x_0g_0)$, also

nach dem Vorhergehenden:

\end{document}
