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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}

\begin{gather*}
	(p+2)I=(p-2)h\tau\\
	(p+2)I^*=2ph\tau
\end{gather*}
In der Physik, benötigt man öfters den Mittelwert der Energie für die Zeitdauer einer vollen Periode. Bilden wir diesen Mittelwert für den vorliegenden Fall, so erhalten wir

\begin{align*}
\overline{T} &= \frac{1}{\tau} \int\limits_{t_0}^{t_0+\tau} T \diff t = \frac{1}{(p+2)\tau} \int\limits_{t_0}^{t_0+\tau}\left(\frac{\diff}{\diff t}(xy)+ph\right)\diff t\\
&=\frac{1}{\tau}\frac{ph}{p+2}\tau = \frac{ph}{p+2}\\
-\overline{U} &= \frac{-1}{(p+2)\tau} \int\limits_{t_0}^{t_0+\tau}\left(\frac{d}{dt}(xy)-2h\right)\diff t = \frac{2h}{p+2}
\end{align*}
Im Mittel verteilt sich also die konstante Energie im Verhältnis $p \colon 2$ auf kinetische und potentielle Energie, falls ein periodisches System vorliegt und

\[
T(\dot x) = \frac12 g_{\alpha\beta}\dot x_\alpha \dot x_\beta
\]
wo $g_{\alpha\beta}$ konstant und $U(x)$ eine homogene Funktion der $x_\alpha$ von der Dimension $p$ ist. Ferner liefert in diesem Fall unsere fundamentale Differentialrelation wegen

\begin{gather*}
(ydx) = (I^0dx^0)\\
(xdy) = (x^0dy^0)
\end{gather*}
für $t = t_0 + \tau \colon 2phd\tau + (p-2) \tau dh = 0$\\

Unter der Voraussetzung, dass $h$ nicht für alle Lösungen denselben konstanten Wert hat, ergibt sich aus dieser Differentialgleichung


\end{document}
