\documentclass[a4paper,german]{book}
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[lite]{amsrefs}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{nicefrac,mathtools}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumitem}
\usepackage{microtype}

\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}


ist, so wissen wir, dass dieses Hamilton'sche Variationsproblem \"aquivalent ist dem der geod\"atischen Linien in dem n-dimensionalen Raum mit den Koordinaten $(x_1, \dotsc ,x_n )$. Periodizit\"at bedeutet dann, dass die geod\"atischen Linien geschlossen sind. Wir erhalten unter diesen Voraussetzungen
\[ 
I = h\tau
\]
\[
\textup {d} I=h\textup {d} \tau + \tau \textup {d} h
\]
Fr\"uher hatte sich ergeben $\textup d l = -h \textup d h \tau$. Gleichsetzung beider Werte liefert die Differentialgleichung
\[
2k \textup {d} \tau + \tau \textup d h = 0
\]
deren Intergation ergibt
\[
h\tau^2= const
\]
Die Bogenl\"ange dieser geod\"atischen Linien ist nach Fr\"uherem
\[
I^*= \int_{t_0}^{t_o+\tau}\sqrt{2\tau}\textup d t = \sqrt{2h}\tau
\]
Da $h T^2$ konstant ist, haben wir also den Satz gewonnen: Geschlossene geod\"atische Linien im n-dimensionalen Raum haben konstante L\"ange. Z. B. die Hauptkreise auf der Kugel. \\
\section {Quasiperiodische Bewegungen}
Aus unserer Fundamentaldifferentialrelation wollen wir ebenso wie f\"ur rein periodische Bewegungen jetzt Folgerungen ziehen f\"ur den Fall quasiperiodischer Vorg\"ange. Wir nennen die Bewegung eines Systems quasiperiodisch, wenn nach einer Zeit $\tau$ die Punkt- und


\end{document}
