\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}


\begin{document}

\[\left.\begin{array}{ll}c(p + 2) \, \diff \vartheta &= c(p + 2)\, \diff \vartheta \\c(p-2)\eta \, \diff \xi &= (p-2)\tau \, \diff h - h\tau \frac{2p(p-2)}{p+2} \, \diff c\\c \cdot 2 \cdot p \xi \, \diff \eta &= 2ph \, \diff \tau + h\tau + h\tau \frac{2p(p-2)}{p+2} \, \diff c \end{array}\right.\] 
Addition ergibt: \[(p-2)\eta \, \diff \xi + 2p \xi \, \diff \eta - (p+2) \, \diff \vartheta = 0 \]
Eine Pfaff'sche Differentialgleichung von der Form \[F_1\,\diff \xi + F_2 \,\diff \eta + F_3\, \diff \vartheta = 0 \]
in drei Dimensionen besitzt dann und nur dann zweidimensionale Integralmannigfaltigkeiten, wenn die Relation besteht
\[ F_1 \left(\frac{\partial \,F_2}{\partial \, \vartheta}-\frac{\partial \, F_3}{\partial \,\eta} \right) +  F_2 \left(\frac{\partial \,F_3}{\partial \, \xi }-\frac{\partial \, F_1}{\partial \, \vartheta} \right) +  F_3 \left(\frac{\partial \,F_1}{\partial \, \eta}-\frac{\partial \, F_2}{\partial \, \xi} \right) \]

In unserem Fall ist aber die linke Seite $-(p + 2 )$ , also im allgemeinen nicht
$0$. Damit ist, von dem trivialen Fall  $\xi, \eta, \vartheta  = const$
abgesehen, nachgewiesen, dass die Integralmannigfaltigkeiten eindimensionale
sind, das hei\ss{}t $\xi, \eta, \vartheta $ sind Funktionen von $(c_1, \dots ,
c_m)$, die für gleiche Parameterwerte eine Kurve im dreidimensionalen
Raum für die Gesamtheit der Werte von $(c_1, \dots, c_m)$, also eine
$m$-gliedrige Kurvenschar bestimmen. Es ist, falls $\xi \neq const$
\[\left.\begin{array}{rl
rl}\vartheta &= \varphi \left(\xi\right) &
  \eta &= \psi\left( \xi \right) \\ \frac{\diff \eta}{\diff \xi} &=
  \varphi' & \frac{\diff \eta}{\diff \xi} &= \psi' \end{array} \right.  \]


\end{document}
