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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
Differentialgleichungen 1. Ordnung der unabh\"angigen Variablen $x_{1}, \ldots, x_{n},$ $\dot{x}_{1}, 
\ldots, \dot{x}_{n}$ nehmen:
\[ \frac{\diff x_{\alpha}}{\diff t} = \dot{x}_{\alpha} ; \quad 
\frac{\diff}{\diff t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\alpha}} - \frac{\partial L}{x_{\alpha}} 
= 0; \quad 
\left( \alpha = 1, \ldots, n \right) \]
wobei in letzterem Term immer anstatt $\ddot{x}_{\beta}$ geschrieben wird $\frac{\diff \dot{x}_{\beta}}{\diff t}$. Jedoch 
haben bei den Lagrange Gleichungen die $y_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\alpha}}$ eine so gro{\ss}e Rolle 
gespielt, dass wir versuchen, die~$2n$~Differentialgleichungen 1. Ordnung in den~$2n$~Variabeln $x_{1}, \ldots, x_{n}, 
\dot{x}_{1}, \ldots, \dot{x}_{n}$ umzuformen in~$2n$~Differentialgleichungen 1. Ordnung mit den unabh\"angigen Variabeln 
$x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n}$.

Zu dem Zweck m\"ussen wir voraussetzen, dass die~$y_{1}, \ldots, y_{n}$ sich nach den $\dot{x}_{1}, \ldots, \dot{x}_{n}$ 
aufl\"osen lassen, wof\"ur notwendig und hinreichende Bedingung ist, dass ihre Funktionaldeterminante nicht identisch 
verschwindet:
\[ \frac{\partial \left( y_{1}, \ldots, y_{n} \right)}{\partial \left( \dot{x}_{1}, \ldots, \dot{x}_{n} \right)} 
\not\equiv 0. \]
Wegen der Bedeutung der~$y_{\alpha}$ hei{\ss}t das, dass die Determinante
\[ \left\lvert \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{x}_{\alpha} \partial \dot{x}_{\beta}} \right\rvert \]
(Anmerkung: Handschrift nicht lesbar).
%Bitte Handschrift einfuegen
Zu bemerken ist hier, dass bei geometrischen Variationsproblemen diese Funktionaldeterminante immer identisch verschwindet. 
Denn dort ist~$L \left( x \dot{x} \right)$ homogen von 1. Dimension in~$\dot{x}_{\alpha}$, 
$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\alpha}}$ infolgedessen homogen von 0. Dimension in~$x_{\alpha}$ d.h. 
$L \left( x \dot{x} \right)$ ist nur von den Verh\"altnissen von $\dot{x}_{1} : \dot{x}_{2} : \ldots : \dot{x}_{n}$ 
abh\"angig, die~$n$-Funktionen
\end{document}
