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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
k\"onnen also nicht unabh\"angig voneinander sein, da sie nur von~$\left( n - 1 \right)$ Variabeln abh\"angen, 
die Funktionaldeterminante muss verschwinden. Im Falle eines rein geometrischen Variationsproblems lassen sich also 
die~$\dot{x}_{\alpha}$ nicht nach den~$\dot{y}_{\alpha}$ aufl\"osen.

Ist jedoch unsere Voraussetzung f\"ur die Aufl\"osbarkeit erf\"ullt, so bleibt immer noch die Frage offen, wie man die 
Umformung der Differentialgleichung am leichtesten erreicht. Zu dem Zweck betrachten wir die Hamilton'sche Funktion
\[ H = \dot{x}_{\alpha} y_{\alpha} - L \left( x \dot{x} \right), \quad y_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial 
\dot{x}_{\alpha}}. \]
%Handschrift nicht zu entziffern
Hierbei muss man sich jetzt die~$\dot{x}_{\alpha}$ durch die~$\dot{y}_{\alpha}$ ausgedr\"uckt denken, sodass wir 
haben $H = H \left( x, y, t \right)$:
\[ \diff H = \frac{\partial H}{\partial x_{\alpha}} \, \diff x_{\alpha} 
+ \frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}} \, \diff y_{\alpha} 
+ \frac{\partial H}{\partial t} \, \diff t. \]
Aus der urspr\"unglichen Form von~$H$ erhalten wir
\begin{align*}
\diff H & = \dot{x}_{\alpha} \, \diff y_{\alpha} + y_{\alpha} \, \diff \dot{x}_{\alpha}
- \frac{\partial L}{\partial x_{\alpha}} \, \diff x_{\alpha}
- \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\alpha}} \, \diff \dot{x}_{\alpha} 
- \frac{\partial L}{\partial t} \, \diff t \\
& = \dot{x}_{\alpha} \, \diff y_{\alpha} - \frac{\partial L}{\partial x_{\alpha}} \, \diff x_{\alpha} 
- \frac{\partial L}{\partial t} \, \diff t
\end{align*}
da wegen~$y_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\alpha}}$ die beiden Terme~$y_{\alpha} \, 
\diff \dot{x}_{\alpha}$ und~$- \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{\alpha}} \, \diff \dot{x}_{\alpha}$ sich 
wegheben. Koeffizientenvergleichung in den beiden Formen des Differentials liefert:
\end{document}
