\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
und bestimmen eine Funktion $W(t, c_1, \dots, c_{2n} )$ so, dass \[\frac{\partial \, W}{\partial t}=y_{\alpha} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t} - H = L\]
Hierbei bedeutet $ \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t}$ dasselbe wie
$\frac{\diff x_{\alpha}}{\diff t}$.
Die rechte Seite, die eine Funktion von $x_{\alpha}, y_{\alpha}$ und $t$ ist,
kann man nach (1) als Funktion von $(t, c_1,\dots, c_{2n})$ schreiben. Jetzt
bilden wir die Differentialquotienten $\frac{\partial W}{\partial c_h}$. Zu dem
Zweck differenzieren wir die Definitionsgleichung f\"ur $W$ nach $c_h$:
\[\frac{{\partial}^2 \, W}{\partial \, t \partial c_h}=\frac{\partial
  y_{\alpha}}{\partial c_h} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t}+y_{\alpha}
\frac{\partial^2 x_{\alpha}}{\partial t \partial c_h}- \frac{\partial
  H}{\partial x_{\alpha}} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial c_h} -
\frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}} \frac{\partial y_{\alpha}}{\partial c_h}\]
Infolge der kanonischen Gleichungen \[ \frac{\diff x_{\alpha}}{\diff t} =
\frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}}  \,; \quad \frac{\diff y_{\alpha}}{ \diff t}= -
\frac{\partial H}{\partial x_{\alpha}} \]
und unter Ber\"ucksichtigung dessen, was oben \"uber die Bedeutung von
$\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t}$ gesagt wurde, folgt \[ \frac{\partial^2
  W}{\partial t \partial c_h}= \frac{\partial y_{\alpha}}{\partial c_h}
\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t}+ y_{\alpha} \frac{\partial^2 x_{\alpha}}{\partial t
  \partial c_h} + \frac{\partial y_{\alpha}}{\partial t} \frac{\partial
  x_{\alpha}}{\partial c_h}-\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t}
\frac{\partial  y_{\alpha}}{\partial c_h}  \]
\[\frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial W}{\partial c_h} \right) =
  \frac{\partial}{\partial t} \left( y_{\alpha} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial c_h} \right)\]
da das erste und letzte Glied sich aufheben.\\
Integration ergibt :

\end{document}
