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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\newcommand*{\Merkwrho}{\varrho}
\begin{document}
L\"osungsschar der kanonischen Differentialgleichungen ist. Zu dem Zweck betrachten wir eine Funktionenschar
\begin{align*}
x_{\alpha} & = x_{\alpha} \left( t, c_{1}, \ldots, c_{2n} \right) \\
y_{\alpha} & = y_{\alpha} \left( t, c_{1}, \ldots, c_{2n} \right)
\end{align*}
wo die $c_{1}, \ldots, c_{2n}$ voneinander unabh\"angig sind, d.h. dass sie innerhalb angebbarer Grenzen nach den~$x, y$ 
aufl\"osbar sind, ihre Funktionaldeterminante
\[ \frac{\partial \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, y_{1}, \ldots, y_{n} \right)}{\partial \left( c_{1}, \ldots, c_{2n} \right)} \]
nicht identisch dort verschwindet. Ferner gelte f\"ur diese Funktionenschar unsere Differentialrelation
\[ \left( y \, \diff x \right) - H \, \diff t = \diff W + \Merkwrho_{k} \, \diff c_{k}. \]
Dann l\"osen wir $\diff x_{\alpha}$ wieder auf in $\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t} \, \diff t + 
\frac{\partial x_{\alpha}}{\partial c_{k}} \, \diff x_{k}$, sodass
\[ \diff W = \left( y_{\alpha} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t} - H \right) \, \diff t 
+ \left( y_{\alpha} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial c_{k}} - \Merkwrho_{k} \right) \, \diff c_{k}. \]
Ein Vergleich mit
\[ \diff W = \frac{\partial W}{\partial t} \, \diff t + \frac{\partial W}{\partial c_{k}} \, \diff c_{k} \]
liefert wie fr\"uher 
\begin{align*}
\frac{\partial W}{\partial t} & = y_{\alpha} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial t} - H \\
\frac{\partial W}{\partial c_{k}} & = y_{\alpha} \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial c_{k}} - \Merkwrho_{k}.
\end{align*}
Dann differenzieren wir die erste Gleichung nach $c_{k}$, die zweite
\end{document}
