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\newcommand*{\diff}{\textup d}
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\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
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\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
nach $t$ und subtrahieren die Resultate von einander. Es ergibt sich
\[0 = \frac{\partial x_2}{\partial t}\frac{\partial y_2}{\partial c_h} - \frac{\partial x_2}{\partial c_h} \frac{\partial x_2}{\partial t} - \frac{\partial H}{\partial c_h}\]
denn $\frac{\partial c_h}{\partial t} = 0$ und die Terme $y_2\frac{\partial }{\partial c_h}\left(\frac{\partial x_2}{\partial t}\right), y_2\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial x_2}{\partial c_h}\right)$
heben sich weg. F\"ur $\frac{\partial H}{\partial c_h}$ schreiben wir

\[\frac{\partial H}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial c_h} + \frac{\partial H}{\partial y_2}\frac{\partial y_2}{\partial c_h}\]
sodass wir haben
\[0 = \frac{\partial x_2}{\partial c_h}\left(\frac{\partial y_2}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial x_2}\right) + \frac{\partial y_2}{\partial c_h}\left(\frac{\partial x_2}{\partial t} - \frac{\partial H}{\partial y_2}\right)
\]
Diese Gleichung gilt für $h = 1, \dots, 2n$. Somit haben wir $2n$ lineare homogene Gleichungen f\"ur die $2n$ Gr\"ossen
\[\frac{\partial y_2}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial x_2} \quad \left(\alpha = 1, \dots, n\right)\]
\[- \frac{\partial x_2}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial y_2}\quad \left(\alpha = 1, \dots , n \right)
\]
Die Determinante dieser linear homogenen Gleichung ist aber gerade die Funktionaldeterminante
\[\frac{\partial\left(x_1, \dots, x_\alpha y_1,\dots,y_n\right) }{\partial \left(c,\dots,c_nc_{n+1},\dots,c_{2n}\right) }
\]
von der wir vorausgesetzt hatten, dass sie nicht verschwindet in dem angegebenen Bereich. Somit m\"ussen die $2n$ Gr\"ossen verschwinden d.h.
\[
\frac{\partial y_2}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial x_2} = 0 \quad -\frac{\partial x_2}{\partial t} + \frac{\partial H}{\partial y_2} = 0
\]


\end{document}
