\documentclass[a4paper,german]{book}
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[lite]{amsrefs}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{nicefrac,mathtools}
\usepackage{floatflt,picins}

\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumitem}
\usepackage{microtype}

\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand*{\evtlx}{x}
\newcommand*{\evtly}{y}
\newcommand*{\evtlH}{H}
\newcommand*{\evtlX}{X}

\begin{document}
fr\"uheren Lagekoordinaten, aber nicht von den fr\"uheren Impulskoordinaten abh\"angen, d.h.
\begin{equation*}
q_{\alpha} = q_{\alpha} \left(\evtlx_{1}, \ldots, \evtlx_{n}, t\right).
\end{equation*}
Damit ist eine Punkttransformation gegeben. Diese kann durch geeignete Transformationen der $y$ so erweitert werden, dass die gesamte Transformation eine kanonische Ber\"uhrungstransformation wird, also der Differentialrelation
\begin{equation*}
\left(p \,\ \diff  q\right) - \left(\evtly \,\ \diff \evtlx\right) = - \,\ \diff \Omega + \lambda \,\ \diff t
\end{equation*}
Zu dem Zwecke bilde
\begin{equation*}
\left(\evtly \,\ \diff \evtlx\right) \equiv \evtly_{\beta} \,\ \diff \evtlx_{\beta} 
= \evtly_{\beta} \frac{\partial \evtlx_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \,\ \diff q_{\alpha} 
+ \evtly_{\beta} \frac{\partial \evtlx_{\beta}}{\partial t} \,\ \diff t.
\end{equation*}
Setzt man also
\begin{equation*}
p_{\alpha} = \evtly_{\beta} \frac{\partial \evtlx_{\beta}}{\partial q_{\alpha}},
\end{equation*}
so wird
\begin{equation*}
p_{\alpha} \diff q_{\alpha} = \evtly_{\beta} \frac{\partial \evtlx_{\beta}}{\partial q_{\alpha}} \,\ \diff q_{\alpha},
\end{equation*}
d.h.
\begin{equation*}
\left(p \,\ \diff q\right) - \left(\evtly \,\ \diff \evtlx \right) = - \evtly_{\beta} \frac{\partial \evtlx_{\beta}}{\partial t} \,\ \diff t.
\end{equation*}
F\"ur
\begin{equation*}
\lambda = - \evtly_{\beta} \frac{\partial \evtlx_{\beta}}{\partial t}
\end{equation*}
hat dies die verlangte Form
\begin{equation*}
\left(p \,\ \diff q\right) - \left(\evtly \,\ \diff \evtlx \right) = \lambda \,\  \diff t.
\end{equation*}
Die Punkttransformation ist also durch die Festlegung
\begin{equation*}
p_{\alpha} = \evtly_{\beta} \frac{\partial \evtlx_{\beta}}{\partial q_{\alpha}}
\end{equation*}
\end{document}
