\documentclass[a4paper,german]{book}
\usepackage{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[lite]{amsrefs}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{nicefrac,mathtools}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumitem}
\usepackage{microtype}

\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\newcommand*{\MerkwM}{M}

\begin{document}
\begin{align*}
\diff w_{1} & = \cos \vartheta \, \diff y + \sin y \sin \vartheta \, \diff \Theta \\
\diff w_{2} & = \sin \vartheta \, \diff y - \cos y \sin \vartheta \, \diff \Theta
\end{align*}
Andererseits ist bei Festlegung von $r$ die Verschiebung:
\begin{align*}
\diff x_{1} & = x_{3} \, \diff w_{2} - x_{2} \, \diff w_{3} \\
\diff x_{2} & = x_{1} \, \diff w_{3} - x_{3} \, \diff w_{1} \\
\diff x_{3} & = x_{2} \, \diff w_{1} - x_{1} \, \diff w_{2}
\end{align*}
Zusammensetzung der beiden Bewegungen ergibt also zun\"achst
\begin{align*}
\diff x_{1} & = \frac{x_{1}}{r} \, \diff r + x_{3} \, \diff w_{2} - x_{2} \, \diff w_{3} \\
\diff x_{2} & = \frac{x_{2}}{r} \, \diff r + x_{1} \, \diff w_{3} - x_{3} \, \diff w_{1} \\
\diff x_{3} & = \frac{x_{3}}{r} \, \diff r + x_{2} \, \diff w_{1} - x_{1} \, \diff w_{2}
\end{align*}
Es ist demnach
\begin{align*}
(y \, \diff x) & = \frac{1}{r} \left( x y \right) \, \diff r + \begin{vmatrix} \diff w_{1} & \diff w_{2} & \diff w_{3} \\ 
x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{vmatrix} \\
& = \frac{1}{r} \left( x y \right) \, \diff r + \MerkwM_{1} \, \diff w_{1} + \MerkwM_{2} \, \diff w_{2} 
+ \MerkwM_{3} \, \diff w_{3}
%Hier muss geprueft werden, ob es sich um ein grosses M handelt
\end{align*}
F\"ur $\diff w_{1}$, $\diff w_{2}$, $\diff w_{3}$ setze ich die vorher gefundenen Ausdr\"ucke $\diff y$, $\diff \vartheta$, 
$\diff \Theta$ ein:
\begin{align*}
\left( y \, \diff x \right) = \frac{1}{r} \left( x y \right) \, \diff r & + \diff \vartheta \, \diff \MerkwM_{3} 
+ \diff y \, \left( \MerkwM_{2} \sin \vartheta + \MerkwM_{1} \cos \vartheta \right) \\
& + \diff \Theta \, \left( \MerkwM_{1} \sin y \sin \vartheta - \MerkwM_{2} \sin y \sin \vartheta + \MerkwM_{3} 
\cos y \right)
\end{align*}
Es ist jedoch
\end{document}
