\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
\begin{align*}
H & \equiv \frac{1}{2} \left( p_{1}^{2} + \frac{c^{2}}{q_{1}^{2}} \right) - U \left( q_{1} \right) \\
\frac{\diff q_{1}}{\diff t} & = \frac{\partial H}{\partial p_{1}} = p_{1}.
\end{align*}
Aus $q_{1} = r_{1}$ folgt also
\[ \dot{r}_{1} = p_{1}, \quad H \equiv \frac{1}{2} \left( \dot{r}_{1}^{2} + \frac{c^{2}}{r^{2}} \right) - U \left( r \right) 
= h. \]
F\"ur $\frac{\diff r}{\diff t}$ ergibt sich also die Differentialgleichung
\[ \frac{\diff r}{\diff t} = \sqrt{2 \left( U \left( r \right) + h \right) - \frac{c^{2}}{r^{2}}} 
= \sqrt{f \left( r \right)}. \]
Um $\Theta$ zu bestimmen beachten wir, dass 
\[ \frac{\diff \Theta}{\diff t} = \frac{\partial H}{\partial p_{2}} = \frac{p_{2}}{q_{1}^{2}} = \frac{c}{r^{2}} \]
ist. Es ergibt sich hier also $c = r^{2} \frac{\diff \Theta}{\diff t}$ d.h. die Fl\"achengeschwindigkeit ist 
konstant.

Ist aus der Differentialgleichung $r$ als Funktion von $t$ ermittelt, so kann man diese Funktion in die 
Gleichung~$\frac{\diff \Theta}{\diff t} = \frac{c}{r^{2}}$ einsetzen und erh\"alt $\Theta$ durch Quadratur.

Kommt es nur auf die Bahnkurve an, so f\"uhrt man $r$ als unabh\"angige Variable ein und es ergibt sich 
$\frac{\diff \Theta}{\diff r} = \frac{c}{r^{2} \sqrt{f \left( r \right)}}$. Aus der Form von $f \left( r \right)$ 
ergeben sich also die speziellen Eigenschaften der Bahnkurve.
\subsection[\"Aquivalenz der kanonischen Gleichungen und der
  Jacobi-Hamilton'schen partiellen Differentialgleichung]{\"Aquivalenz der kanonischen Gleichungen und der
  Jacobi-Hamilton'schen partiellen\\Differentialgleichung}
Wie wir gesehen haben, f\"uhrt eine Ber\"uhrungstransformation die
\end{document}
