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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
kanonischen Differentialgleichungen wieder in solche \"uber. Aus dieser Kovarianz gegen Ber\"uhrungstransformationen 
leiten wir jetzt den Zusammenhang des Systems der kanonischen Gleichungen mit einer partiellen Differentialgleichung her.

Die Ber\"uhrungstransformation sei gegeben durch
\begin{equation*}
\left.\begin{array}{ccc}
x_{1} & \ldots & x_{n} \\
y_{1} & \ldots & y_{n}
\end{array}
\right\} \longleftrightarrow \left\{
\begin{array}{ccc}
q_{1} & \ldots & q_{n} \\
p_{1} & \ldots & p_{n}
\end{array}\right.
\end{equation*}
wo
\[ \left( y \, \diff x \right) - \left( p \, \diff q \right) = \diff \Omega + \Lambda \, \diff t \]
und f\"ur die Variablen $p_{\alpha}, q_{\alpha}$: $H^{*} = H + \Lambda$ ist.
\subsubsection{Herstellung einer allgemeinen Ber\"uhrungstransformation}
Ein sehr allgemeiner Weg um solche Ber\"uhrungstransformationen zu erhalten, ist folgender;

Wir nehmen eine willk\"urliche Funktion~$\Omega \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t \right)$, von 
der wir voraussetzen, dass die Determinante 
\[ \left\lvert \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial q_{\beta}} \right\rvert \not= 0 \quad 
\left( \alpha, \beta = 1, \ldots, n \right) \]
ist.
Dann setzen wir
\[ y_{\alpha} = \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\alpha}}; \quad -p_{\alpha} = 
\frac{\partial \Omega}{\partial q_{\alpha}} \quad \left( \alpha = 1, \ldots, n \right). \]
Dadurch ist eine Transformation gegeben:
\begin{equation*}
\left.\begin{array}{ccc}
x_{1} & \ldots & x_{n} \\
y_{1} & \ldots & y_{n}
\end{array}
\right\} \longleftrightarrow \left\{
\begin{array}{ccc}
q_{1} & \ldots & q_{n} \\
p_{1} & \ldots & p_{n}
\end{array}\right.
\end{equation*}
\end{document}
