\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
Denn sind die bekannten Variablen~$p_{\alpha}$~,~$q_{\alpha}$~, so kann man die $x_{\alpha}$ aus 
$-p_{\alpha} = \frac{\partial \Omega}{\partial q_{\alpha}}$ berechnen. Dies ist immer m\"oglich, wenn 
$\frac{\partial \left( p_{1}, \ldots, p_{n} \right)}{\partial \left( x_{1}, \ldots, x_{n} \right)} 
\not\equiv 0$ ist. In unserem Falle ist diese Funktionaldeterminante $\left( -1 \right)^{n} 
\left\lvert \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial q_{s}} \right\rvert$, verschwindet also nicht 
nach Voraussetzung.

Setzt man jetzt die $x_{\alpha} \left(p, q \right)$ in $y_{\alpha} = \frac{\partial}{\partial x_{\alpha}} 
\left( \Omega \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n} \right) \right)$ ein, so erh\"alt man auch 
$y_{\alpha} = y_{\alpha} \left( p, q \right)$. Umgekehrt erh\"alt man auch, wenn man die $x_{\alpha}$,~$y_{\alpha}$ 
transformieren will, die $q_{\alpha}$ aus $y_{\alpha} = \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\alpha}}$ denn 
\[ \frac{\partial \left( y_{1}, \ldots, y_{n} \right)}{\partial \left( q_{1}, \ldots, q_{n} \right)} 
\equiv \left\lvert \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial q_{s}} \right\rvert \not\equiv 0. \]
Die $q \left(x, y \right)$ setzt man in $-p_{\alpha} = \frac{\partial \Omega}{\partial q_{\alpha}}$ ein und 
erh\"alt so
\[ p_{\alpha} = p_{\alpha} \left( x, y \right). \]
Diese Transformation ist eine Ber\"uhungstransformation, denn
\begin{align*}
\diff \Omega & = \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\alpha}} \, \diff x_{\alpha} 
+ \frac{\partial \Omega}{\partial q_{\alpha}} \, \diff q_{\alpha} 
+ \frac{\partial \Omega}{\partial t} \, \diff t \\
& = y_{\alpha} \, \diff x_{\alpha} - p_{\alpha} \, \diff q_{\alpha} + \frac{\partial \Omega}{\partial t} \, \diff t \\
& = \left( y \, \diff x \right) - \left( p \, \diff q \right) + \Lambda \, \diff t.
\end{align*}
Unsere Differentialbeziehung ist also erf\"ullt.

Jetzt suchen wir $\Omega$ so zu w\"ahlen, dass $H^{*} = H + \Lambda \equiv 0$ wird. Dann erhalten wir n\"amlich 
als kanonische Differentialgleichungen
\[ \frac{\diff q_{\alpha}}{\diff t} = 0, \quad \frac{\diff p_{\alpha}}{\diff t} = 0, 
\quad \left( \alpha = 1, \ldots, n \right), \]
\end{document}
