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\newcommand*{\R}{\mathbb R}
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\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
die sofort als Integrale ergeben 
\[ q_{\alpha} = \text{const}, \quad p_{\alpha} = \text{const}. \]
Zur Bestimmung dieser willk\"urlichen Funktion~$\Omega$~dient die oben angegebene Gleichung
\[ H \left( x, y, t \right) + \frac{\partial \Omega}{\partial t} = 0. \]
Da $y_{\alpha} = \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\alpha}}$ so ergibt sich f\"ur~$\Omega$ die partielle 
Differentialgleichung, die die Hamilton-Jacobi'sche Differentialgleichung genannt wird:
\[ H \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, \frac{\partial \Omega}{\partial x_{1}}, \ldots, 
\frac{\partial \Omega}{\partial x_{n}}, t \right) + \frac{\partial \Omega}{\partial t} = 0 \]
wo $\Omega = \Omega \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n} \right)$ au{\ss}er 
von~$x_{1}, \ldots, x_{n}$ von~$n$~konstanten Parametern~$q_{\alpha}$ abh\"angt.

Nach L\"osung dieser Differentialgleichung ergibt sich durch die Transformationsformeln 
\begin{align*}
x_{\alpha} & = x_{\alpha} \left( t, q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n} \right) \\
y_{\alpha} & = y_{\alpha} \left( t, q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n} \right)
\end{align*}
Aus unserer Bestimmungsgleichung f\"ur~$\Omega$:
\[ H + \frac{\partial \Omega}{\partial t} \equiv 0 \]
folgt
\[ \frac{\partial \Omega}{\partial t} = -H. \]
\end{document}
