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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\newcommand*{\Merkwrho}{\varrho}
\begin{document}
sodass unsere Differentialrelation sich schreiben l\"asst:
\[ \left( y \, \diff x \right) - H \, \diff t = \diff \Omega + \left( p \, \diff q \right)  \]
Das ist die Form, der wir seinerzeit als Fundamentaldifferentialrelation f\"ur die kanonischen 
Differentialgleichungen begegnet sind. Der konstante Differentialausdruck~$\Merkwrho_{k} \, \diff c_{k}$, 
der damals auftrat, ist hier $p_{\alpha} \, \diff q_{\alpha}$.

Wir wissen von damals, dass eine Funktionenschar~$x_{\alpha}, y_{\alpha}$ mit den $2n$~Integrationskonstanten ~$p_{\alpha}, 
q_{\alpha}$ die diese Differentialform erf\"ullt, auch L\"osungsschar der kanonischen Differentialgleichungen ist.

Au{\ss}erdem hatte sich damals f\"ur die Hamilton'sche Wirkung ein sehr einfacher Ausdruck ergeben, n\"amlich 
\[ I = \Omega \left( t, q_{1}, \ldots, q_{n}, x_{1}, \ldots, x_{n} \right) 
- \Omega \left( t_{0}, q_{1}, \ldots, q_{n}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0} \right). \]
Derselbe ergibt sich hier aus 
\begin{align*}
\frac{\diff \Omega}{\diff t} & = \frac{\partial \Omega}{\partial t} + \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\alpha}} 
\frac{\diff x_{\alpha}}{\diff t} = \frac{\partial \Omega}{\partial t} + \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\alpha}} 
\frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}} \\
& = - H + y_{\alpha} \frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}} = L \left( x, y \right).
\end{align*}
Die Hamilton'sche Wirkung ist jedoch 
\[ I = \int\limits_{t_{0}}^{t} L \left( x, y \right) \, \diff t = \int\limits_{t_{0}}^{t} \frac{\diff \Omega}{\diff t} 
\, \diff t = \left. \Omega \left( t, q_{1}, \ldots, q_{n}, x_{1}, \ldots, x_{n} \right) \right\rvert_{t_{0}}^{t} \]
wie oben bewiesen war.
Aus alledem sieht man, dass es darauf ankommt, $\Omega$ so zu bestimmen,
\end{document}
