\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\newcommand*{\MerkwGrossS}{S}
\begin{document}
dass es $n$~Konstanten~$q_{\alpha}, \, \left( \alpha = 1, \ldots, n \right)$ enth\"alt. Machen wir den Ansatz 
\[ \Omega \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, q_{1}, \ldots, q_{n}, t \right) = \MerkwGrossS \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, 
q_{1}, \ldots, q_{n} \right) - h t \]
wo $\MerkwGrossS$ von $t$ nicht abh\"angen soll, so haben wir in $\Omega$ die Integrationskonstante~$h$ als 
Faktor von~$t$, sodass $\MerkwGrossS$ nur noch $\left( n - 1 \right)$ andere Konstanten zu enthalten braucht. 
D.h. 
\[ \MerkwGrossS = \MerkwGrossS 
\begin{pmatrix}
x_{1} & \ldots & x_{n} \\
q_{2} & \ldots & q_{n}
\end{pmatrix} \]
wo $q_{1} = h$. Die Transformationsformel f\"ur dieses~$\Omega = \MerkwGrossS - h t$ lauten 
\begin{align*}
y_{\alpha} & = \frac{\partial \MerkwGrossS}{\partial x_{\alpha}} \quad \left( \alpha = 1, \ldots, n \right) \\
- p_{1} & = \frac{\partial \MerkwGrossS}{\partial q_{1}} - t, \quad \left( \text{da} h = q_{1} \right) \\
- p_{\alpha} & = \frac{\partial \MerkwGrossS}{\partial q_{\alpha}} \quad \left( \alpha = 2, \ldots, n \right).
\end{align*}
So ergeben sich die
\[ \begin{pmatrix}
x_{1} & \ldots & x_{n} \\
y_{1} & \ldots & y_{n}
\end{pmatrix}
\, \text{als Funktion von} \,
\begin{pmatrix}
q_{1} & \ldots & q_{n} \\
p_{1} - t, p_{2} & \ldots & p_{n} 
\end{pmatrix}. \]
Das ist eine Ber\"uhrungstransformation, da 
\begin{align*}
\diff S & \equiv \frac{\partial S}{\partial x_{\alpha}} \, \diff x_{\alpha} + \frac{\partial S}{\partial q_{\alpha}} \, 
\diff q_{\alpha} \\
& = \left( y_{\alpha} \, \diff x_{\alpha} \right) - \left( p_{1} - t \right) \, \diff q_{1} - p_{2} \, \diff q_{2} 
- \ldots - p_{n} \, \diff q_{n}
\end{align*}
als zugeh\"orige Differentialform sich ergibt.

Die zugeh\"orige Jacobi-Hamilton'sche Differentialgleichung ist 
\[ H \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, \frac{\partial S}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial x_{n}} \right) = h \]
\end{document}
