\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
\[ H \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, \frac{\partial \Omega}{\partial x_{1}}, \ldots, 
\frac{\partial \Omega}{\partial x_{n}} \right) + \frac{\partial \Omega}{\partial t} = 0 \]
\"aquivalent ist einem kanonischen Differentialgleichungssystem. Zu dem Zweck nehmen wir an, es sei uns eine 
L\"osungsschar der kanonischen Differentialgleichung gegeben:
\begin{align*}
x_{\alpha} & = x_{\alpha} \left( t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0}, t^{0} \right) \\
y_{\alpha} & = y_{\alpha} \left( t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0}, t^{0} \right)
\end{align*}
wo die Anfangswerte sind
\[ x_{\alpha}^{0} = x_{\alpha} \left( t^{0} \right), \quad y_{\alpha}^{0} = y_{\alpha} \left( t^{0} \right) \]
also eine L\"osungsschar mit~den~$2n + 1$~Parametern~$x_{\alpha}^{0}, y_{\alpha}^{0}, t^{0} 
\left( \alpha = 1, \ldots, n \right)$. Zu diesem kanonischen System geh\"ort eine Differentialform
\[ \left( y \, \diff x \right) - H \, \diff t = \diff \Omega + \left( C \, \diff c \right) \]
wo $C_{k} = C_{k} \left( x^{0}, y^{0}, t^{0} \right)$ ist. Ersetzen wir jetzt $t$~durch~$t^{0}$, dann wird 
die Differentialform 
\[ \left( y^{0} \, \diff x^{0} \right) - H^{0} \, \diff t^{0} = \diff \Omega^{0} + \left( C \, \diff c \right). \]
Subtraktion ergibt
\[ \left( y \, \diff x \right) - \left( y^{0} \, \diff x^{0} \right) = \diff \left( \Omega - \Omega^{0} \right) 
+ H \, \diff t - H^{0} \, \diff t^{0}. \]
Die $\left( x, y \right)$-Werte zur Zeit~$t$ h\"angen also mit denen zur Zeit~$t^{0}$ durch
\end{document}
