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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
eine Ber\"uhrungstransformation zusammen. Die kanonischen Differentialgleichungen geben die infinitesimale Transformation 
der~$\left( x, y \right)$~Werte zur Zeit~$t$ in die~$\left( x, y \right)$~Werte zur Zeit~$t + \diff t$~, sodass Aufsuchen 
der L\"osungen des kanonischen Systems gleichbedeutend ist mit Aufsuchen der Schar, die diese Ber\"uhrungstransformation 
gestattet. Setzen wir jetzt $\Omega - \Omega^{0} = I$, so ergibt unsere Differentialform 
\[ \diff I = \left( y \, \diff x \right) - \left( y^{0} \, \diff x^{0} \right) - H \left( x, y \right) \, \diff t 
+ H \left( x^{0}, y^{0}, t^{0} \right) \, \diff t^{0}. \]
Dieses Differential w\"urde sehr einfach den Differentialquotienten von~$I$ ergeben, wenn es gestattet w\"are, 
die~$x_{\alpha}, x_{\alpha}^{0}, t, t^{0}$ als unabh\"angige Variable einzuf\"uhren; dies ist nur m\"oglich, wenn 
ich alle Variablen durch sie ausdr\"ucken kann. Es kommt also darauf an, dass wir aus den gegebenen Gleichungen der Schar 
\begin{align*}
x_{\alpha} & = x_{\alpha} \left( t, t^{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0}  \right) 
\left( \alpha = 1, \ldots, n \right) \\
y_{\alpha} & = y_{\alpha} \left( t, t^{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0}  \right) 
\left( \alpha = 1, \ldots, n \right)
\end{align*}
die $y_{\alpha}, y_{\alpha}^{0}$ als Funktionen der 
Variablen 
\[x_{1}, \ldots, x_{n}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}, t^{0} 
\left(\left(x, x_{0}, t, t_{0}\right) \, \text{abgek\"urzt} \right)\] 
darstellen k\"onnen. Zu dem Zweck m\"ussen die ersten~$n$~Gleichungen 
\[ x_{\alpha} = x_{\alpha} \left( t, t^{0}, x_{0}, y_{0}  \right) \]
nach $y^{0}$ aufl\"osbar sein, denn wenn dies geschehen ist, braucht man nur die~$y_{\alpha}^{0}$ in 
$y_{\alpha}$ durch die $x, x^{0}, t, t^{0}$ auszudr\"ucken, um $y_{\alpha}$ sofort als Funktionen von 
$x_{\alpha}, x_{\alpha}^{0}, t, t^{0}$ zu erhalten. Die notwendige und hinreichende Bedingung f\"ur die 
Aufl\"osbarkeit der~$n$~ersten Gleichungen nach $y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0}$ ist aber
\end{document}
