\documentclass[a4paper,german]{book}
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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
\[ \frac{\partial \left( x_{1}, \ldots, x_{n} \right)}{\partial \left( y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0} \right)}\not= 0. \]
Dieser Bedingung sind wir in anderer Form fr\"uher schon einmal begegnet. Denken wir uns n\"amlich $x_{\alpha}$ unter 
Annahme der Analytizit\"at in eine Potenzreihe von~$t - t^{0}$~entwickelt, so ist
\[ x_{\alpha} = x_{0}^{0} + \left( \frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}} \right)_{t_{0}} \left( t - t^{0} \right) + \ldots \]
demnach
\[ \frac{\partial x_{\alpha}}{\partial y_{\beta}^{0}} = \frac{\partial^{2} H^{0}}{\partial y_{\alpha}^{0} \partial y_{p}^{0}} 
\left( t - t^{0} \right) + \ldots \]
Die Funktionaldeterminante wird
\[ \frac{\partial \left( x_{1}, \ldots, x_{n} \right)}{\partial \left( y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0} \right)} = 
\left( t - t^{0} \right)^{n} \left\lvert \frac{\partial^{2} H^{0}}{\partial y_{\alpha}^{0} 
\partial y_{\beta}^{0}} \right\rvert + \ldots \]
Das Nichtverschwinden dieser Determinante war seinerzeit als Bedingung daf\"ur aufgetreten, dass man von den 
kanonischen Gleichungen zu den Lagrange'schen zur\"uckkehren kann. Ist also 
$\frac{\partial \left( x_{1}, \ldots, x_{n} \right)}{\partial \left( y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0} \right)} \not= 0$, so ist 
\begin{align*}
I & = I \left( x, x_{0}, t, t_{0} \right) \\
\diff I & = \frac{\partial I}{\partial x_{\alpha}} \, \diff x_{\alpha} 
+ \frac{\partial I}{\partial x_{\alpha}^{0}} \, \diff x_{\alpha}^{0}
+ \frac{\partial I}{\partial t} \, \diff t 
+ \frac{\partial I}{\partial t^{0}} \, \diff t^{0}
\end{align*}
Der Vergleich mit $\diff I = \left( y \, \diff x \right) - \left( y_{0} \, \diff x_{0} \right) - H \, \diff t 
+ H^{0} \, \diff t^{0}$ ergibt
\begin{align*}
\frac{\partial I}{\partial x_{\alpha}} = y_{\alpha} \quad &; \quad \frac{\partial I}{\partial x_{\alpha}^{0}} = - y_{\alpha}^{0} \\
\frac{\partial I}{\partial t} = - H \left( x, y, t \right) \quad &; \quad \frac{\partial I}{\partial t_{0}} = H \left( x^{0}, y^{0}, t^{0} \right)
\end{align*}
\end{document}
