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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
wo~$y_{\alpha}$~und~$y_{\alpha}^{0}$ durch die ersten Gleichungen gegeben sind.

Die letzten Gleichungen ergeben also
\[ \frac{\partial I}{\partial t} + H \left( x, \frac{\partial I}{\partial x}, t \right) = 0 \]
d.i. die Jacobi-Hamilton'sche Differentialgleichung f\"ur $I$ mit den $n$~Konstanten~$x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$. 
Diese Differentialgleichung liefert ein vollst\"andiges Integral, falls 
\[ \left\lvert \frac{\partial^{2} I}{\partial x_{\alpha} \partial x_{\beta}^{0}} \right\rvert\not= 0. \]
Um das festzustellen, nehmen wir die Gleichung
\[ -y_{\alpha}^{0} = \frac{\partial I \left( x, x^{0}, t, t^{0} \right)}{\partial x_{\alpha}^{0}}. \]
Setzen wir hier $x_{\alpha} = x_{\alpha} \left( t, x_{0}, y_{0}, t_{0} \right)$, so muss rechts 
identisch~$-y_{\alpha}^{0}$ stehen. Wir bilden die Funktionaldeterminante
\[ \frac{\partial \left( y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0} \right)}{\partial \left( y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0} \right)} = 1. \]
%Nicht sicher, ob das wirklich alles y sein sollen
Nach der Kettenregel f\"ur Funktionaldeterminanten ist demnach
\[ \left( -1 \right)^{n} = \frac{\partial^{2} I}{\partial x_{\alpha}^{0} \partial y_{\beta}^{0}} 
\, \frac{\partial \left( x_{1}, \ldots, x_{n} \right)}{\partial \left( y_{1}^{0}, \ldots, y_{n}^{0} \right)}. \]
Daraus folgt
\[ \left\lvert \frac{\partial^{2} I}{\partial x_{\alpha} \partial x_{p}^{0}} \right\rvert \not= 0 \]
d.h. die Voraussetzung daf\"ur, dass $I$ ein vollst\"andiges Integral der
\end{document}
