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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
Jacobi-Hamilton'schen Differentialgleichung 
\[ H \left( x, \frac{\partial I}{\partial x} \right) + \frac{\partial I}{\partial t} = 0 \]
ist, ist erf\"ullt. Damit ist nachgewiesen, dass die Jacobi-Hamilton'sche Differentialgleichung einem kanonischen 
Differentialgleichungssystem \"aquivalent ist. Denn unter den gew\"ahlten Voraussetzungen f\"uhrt die Differentialform 
der kanonischen Differentialgleichungen zu obiger Jacobi-Hamilton'scher Differentialgleichung, w\"ahrend vorher 
nachgewiesen war, dass diese zu der Differentialform der kanonischen Differentialgleichungen f\"uhrt. Die 
Differentialform selbst war aber der kanonischen Differentialgleichungen \"aquivalent.
\subsubsection{Darboux'scher Aequivalenzbeweis}
Einen anderen Weg zur Herleitung der \"Aquivalenz schl\"agt Darboux in seiner Fl\"achentheorie ein. Er nimmt an, dass 
zu~$H + \frac{\partial \Omega}{\partial t} = 0$ eine L\"osung gefunden sei. Dann gilt der Satz: Nehmen wir von einem 
kanonischen Differentialgleichungssystem die ersten~$n$~Gleichungen 
\[ \frac{\diff x_{\alpha}}{\diff t} = \frac{\partial H}{\partial y_{\alpha}} \left( \alpha = 1, \ldots, n \right) \]
setzen $y_{\alpha} = \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\alpha}}$, wobei sich formal ergibt 
\[ \frac{\diff x_{\alpha}}{\diff t} = x_{\alpha} \left( x_{1}, \ldots, x_{n}, t \right) \left( \alpha = 1, \ldots, n \right) \]
nehmen wir von letzterem Differentialgleichungssystem irgendeine L\"osung~$x_{\alpha} \left( t \right)$ und bilden 
$y_{\alpha} \left( t \right)$ nach obiger Vorschrift, so ist damit eine L\"osung der kanonischen 
Differentialgleichung gewonnen.
\end{document}
