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\newcommand*{\diff}{\textup d}
\newcommand*{\ima}{\textup i}
\newcommand*{\e}{\textup e}
\newcommand*{\R}{\mathbb R}
\newcommand*{\C}{\mathbb C}
\newcommand*{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand*{\N}{\mathbb N}
\newcommand*{\Q}{\mathbb Q}

\begin{document}
Kennt man also eine spezielle L\"osung der Jacobi-Hamilton'schen Gleichung und kennt man eine~$n$-gliedrige 
L\"osungsschar der gew\"ohnlichen Differentialgleichungen~$\left( \,\, \right)$, wobei diese Differentialgleichungen 
in~$\Omega$ ein Impulspotential besitzen:~$y_{\alpha} = \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\alpha}}$, so haben wir 
in den~$x_{\alpha}, y_{\alpha}$ ein vollst\"andiges L\"osungssystem der kanonischen Differentialgleichungen. Zu beweisen 
ist also, dass unter unseren Voraussetzungen 
\[ \frac{\diff y_{\alpha}}{\diff t} + \frac{\partial H}{\partial x_{\alpha}} = 0 \]
ist. Es ist
\begin{align*}
\frac{\diff y_{\alpha}}{\diff t} & = \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial t} 
+ \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial x_{p}} \, \frac{\diff x_{p}}{\diff t} \\
& = \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial t} 
+ \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial x_{p}} \, \frac{\partial H}{\partial y_{\beta}} \\
& = \vartheta_{\alpha} \frac{\diff x_{p}}{\diff t} = \frac{\partial H}{\partial y_{p}}.
\end{align*}
Wir setzen jetzt
\[ H \left( x, \frac{\partial \Omega}{\partial x}, t \right) + \frac{\partial \Omega}{\partial t} \equiv F \left( x, t \right) \]
und bilden
\[ \frac{\partial F}{\partial x_{\alpha}} = \frac{\partial H}{\partial x_{\alpha}} 
+ \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{\alpha} \partial t} 
+ \frac{\partial H}{\partial y_{\beta}} \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x_{p} \partial x_{\alpha}} \]
da ja 
\[ y_{\beta} = \frac{\partial \Omega}{\partial x_{\beta}} \]
ist. Darauf ist 
\[ \frac{\partial F}{\partial x_{\alpha}} = \frac{\diff y_{\alpha}}{\diff t} 
+ \frac{\partial H}{\partial x_{\alpha}}. \]
\end{document}
